www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange optimale Menge
Lagrange optimale Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lagrange optimale Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Fr 24.05.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Gegeben ist die Produktionsfunktion

x = [mm] f(r_1, r_2) [/mm] = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] mit

x: Menge des Endproduktes
[mm] r_1, r_2 \ge [/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.

Eine ME [mm] r_1 [/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm] r_2 [/mm] kostet 1 GE.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge maximiert werden soll.

[nur notwendige Bedingung!]

Interpretieren Sie außerdem den Wert des Lagrange-Parameters.

Moin Moin,

1. Nebenbedingung aufstellen
    [mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] = 100

2. Lagrange-Funktion aufstellen

L = [mm] 10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] \lambda*(4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100)

3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen

I.   [mm] \bruch{dL}{dr_1} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] - [mm] 4,5*\lambda [/mm] = 0

II.  [mm] \bruch{dL}{dr_2} [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] - [mm] \lambda [/mm] = 0

III. [mm] \bruch{dL}{d\lambda} [/mm] = [mm] 4,5*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0

4. Das Gleichungssystem lösen

-4,5*II. + I.

[mm] -4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] + [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm] = 0

[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm] = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1} [/mm]  |  [mm] *r_2^{0,9} *r_1^{0,1} [/mm]

[mm] 4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm]  = [mm] 9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1} [/mm]


[mm] 4,5*r_1 [/mm] = [mm] 9*r_2 [/mm]  

[mm] r_1 [/mm] = [mm] 2*r_2 [/mm]  


in III. einsetzen

[mm] 4,5*2*r_2 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - 100 = 0

[mm] r_2 [/mm] = 10   =>   [mm] r_1 [/mm] = 20

II.
[mm] \lambda [/mm] = [mm] r_1^{0,9}*r_2^{-0,9} [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] 20^{0,9}*10^{-0,9} [/mm]

[mm] \lambda [/mm] = 1,866

x = f(20;10) = [mm] 10*20^{0,9}*10^{0,1} [/mm]

x= 186,61


richtig?


Wie soll ich aber nun den Wert von [mm] \lambda [/mm] interpretieren? Keine Ahnung!



        
Bezug
Lagrange optimale Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Fr 24.05.2019
Autor: fred97


> Gegeben ist die Produktionsfunktion
>  
> x = [mm]f(r_1, r_2)[/mm] = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] mit
>
> x: Menge des Endproduktes
> [mm]r_1, r_2 \ge[/mm] 0 Menge der Produktionsfaktoren.
>  
> Eine ME [mm]r_1[/mm] kostet 4,5 GE, eine ME [mm]r_2[/mm] kostet 1 GE.
>  
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die
> optimalen Einsatzmengen der Produktionsfaktoren, wenn die
> Kosten 100 GE betragen sollen und die Produktionsmenge
> maximiert werden soll.
>
> [nur notwendige Bedingung!]
>  
> Interpretieren Sie außerdem den Wert des
> Lagrange-Parameters.
>  Moin Moin,
>  
> 1. Nebenbedingung aufstellen
> [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] = 100
>
> 2. Lagrange-Funktion aufstellen
>  
> L = [mm]10*r_1^{0,9}*r_2^{0,1}[/mm] - [mm]\lambda*(4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100)
>
> 3. partielle Ableitungen bilden und diese null setzen
>  
> I.   [mm]\bruch{dL}{dr_1}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] -
> [mm]4,5*\lambda[/mm] = 0
>  
> II.  [mm]\bruch{dL}{dr_2}[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] - [mm]\lambda[/mm] = 0
>  
> III. [mm]\bruch{dL}{d\lambda}[/mm] = [mm]4,5*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>  
> 4. Das Gleichungssystem lösen
>  
> -4,5*II. + I.
>  
> [mm]-4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] + [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm] = 0
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm] = [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}[/mm]  |  
> [mm]*r_2^{0,9} *r_1^{0,1}[/mm]
>
> [mm]4,5*r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm]  =
> [mm]9*r_1^{-0,1}*r_2^{0,1}*r_2^{0,9}*r_1^{0,1}[/mm]
>
>
> [mm]4,5*r_1[/mm] = [mm]9*r_2[/mm]  
>
> [mm]r_1[/mm] = [mm]2*r_2[/mm]  
>
>
> in III. einsetzen
>  
> [mm]4,5*2*r_2[/mm] + [mm]r_2[/mm] - 100 = 0
>  
> [mm]r_2[/mm] = 10   =>   [mm]r_1[/mm] = 20

>
> II.
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]r_1^{0,9}*r_2^{-0,9}[/mm]
>  [mm]\lambda[/mm] = [mm]20^{0,9}*10^{-0,9}[/mm]
>  
> [mm]\lambda[/mm] = 1,866
>
> x = f(20;10) = [mm]10*20^{0,9}*10^{0,1}[/mm]
>
> x= 186,61
>
>
> richtig?

Ja, alles richtig

>
>
> Wie soll ich aber nun den Wert von [mm]\lambda[/mm] interpretieren?
> Keine Ahnung!

Ich machs mal mit x und y und variabler Nebenbedingung: fassen wir die Lagrange- Funktion auch noch als Funktion von c auf:

$L(x,y, [mm] \lambda; [/mm] c)=f(x,y)+ [mm] \lambda [/mm] (c-g(x,y)).$

Dann ist $ [mm] \frac{\partial L}{\partial c}= \lambda.$ [/mm]

[mm] \lambda [/mm]  gibt also an, wie sich das Max/Min ändert, wenn die Konstante $c$ in der Nebenbedingung $g(x,y)= c$ verändert wird.


>  
>  


Bezug
                
Bezug
Lagrange optimale Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Fr 24.05.2019
Autor: hase-hh

Alles klar!   Vielen Dank !!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de