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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Lagrange-Multiplikatoren-Bewei
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Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Sa 04.08.2018
Autor: Takota

Hallo, im Anhang habe ich den Beweis für die Lagrange-Multiplikatoren beigefügt. Meine Fragen beziehen sich darauf und habe die Stellen, die mir unklar sind, mit Großbuchstaben gekennzeichnet.

(A)
OBdA: Meint der Autor damit, daß man die Determinante statt auf die ersten x'sen [mm] $(x_1, x_2,...)$, [/mm] genauso auch auf die hinteren x'sen [mm] $(x_1_1,x_1_2_...x_n)$ [/mm] beziehen kann?

(F)
a. Ich denke da ist ein Druckfehler und muß statt u, x heißen?
b. Der Vektor x wird also in zwei  Vektoren u und t aufgeteilt?
c. Bedeutet die Schreibweise (u,t) das Gleiche, wie ich auf dem Blatt in grün hingeschrieben habe? Könnte man das nicht auch so schreiben: $x = (u, [mm] t)^T$ [/mm] .

(B)
Ich denke [mm] $B(t^0,r)$ [/mm] ist die "...kleine Umgebung..."
Was bedeutet "r" ? Vielleicht der Radius der Umgebungs-Kugel um [mm] t^0? [/mm]

(C)
Hier wird die Kettenregel auf die Funktion [mm] $\varphi(t) [/mm] = f(u(t),t) $ angewendet. Im Argument von f steht eine vektormäßige Funktion u(t) und ein Vektor t. Die Kettenregel kenne ich aber so, das, z.B., nur u(t) drin steht. Die innere Funktion definiere ich mal so: $ [mm] \delta: t\varepsilon\IR^n^-^m\to [/mm] (??), [mm] \delta(t):=(u(t),t)$. [/mm] Bei den (??) bin ich mir nicht sicher auf welche Menge abgebildet wird - vielleicht auf [mm] \IR^n? [/mm]  Die Funktion f bildet ja vom [mm] \IR^n [/mm] nach [mm] \IR [/mm] ab. Die komplette Abbildungskette ist mir auch nicht klar. Kann mir bitte jemand Schritt für Schritt zeigen, wie die Kettenregel auf [mm] $\varphi(t) [/mm] = f(u(t),t) $ angewendet wird, bitte mit Erläuterung.

(D)
Kann mir bitte jemand sagen, warum das grün unterstrichene aus dem vorherigen folgt?

(E)
Wie ist diese Definition zu verstehen? Handelt es sich hier um "Matrix mal Vektor = Vektor" also sowas wie Ax=b? Ich weiß zwar nicht wie die Komponenten von b aussehen, aber diese werden wohl jeweils den [mm] \lambda's [/mm] zugeordnet? Kann mir bitte jemand das ein bischen erläutern?

Eine Menge frage, aber sehr lehrreich für mich.

LG
Takota

Anhang

[a]Datei-Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 So 05.08.2018
Autor: fred97

....... die Urheberrechteüberprüfung  läuft nun schon seit  fast 24 Stunden.... !?

Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 So 05.08.2018
Autor: angela.h.b.


> ....... die Urheberrechteüberprüfung läuft nun schon
> seit fast 24 Stunden.... !?

Hallo,

ich habe mich mehrfach bemüht, den Anhang zu prüfen.

Leider kann ich das Dokument nicht öffen.
Ob dies an der mir zur Verfügung stehenden Technik liegt oder an etwas anderem, weiß ich nicht.

LG Angela


 

Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 So 05.08.2018
Autor: leduart

Hallo Angela,
wenn ich auf download gehe, macht der Text direkt auf.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 So 05.08.2018
Autor: leduart

Hallo Takota
der Text ist ein orginaltext aus einem Skript oder Buch, wenn das skript offen im Netz steht, kann man es hier veröffentlichen, wenn es nur euch studis zur verfügung steht nicht. also sag uns bitte, woher der Text kommt.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 So 05.08.2018
Autor: Takota

Entschuldigung, das ich erst jetzt antworte, war den ganzen Tag unterwegs.

Ich habe den Link nach langem suchen wieder gefunden:

https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-

Ist wohl von der Humboldt-Uni Berlin

Ich denke, da ist kein Copyright drauf??

Bezug
        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Mo 06.08.2018
Autor: fred97


> Hallo, im Anhang habe ich den Beweis für die
> Lagrange-Multiplikatoren beigefügt. Meine Fragen beziehen
> sich darauf und habe die Stellen, die mir unklar sind, mit
> Großbuchstaben gekennzeichnet.
>  
> (A)
> OBdA: Meint der Autor damit, daß man die Determinante
> statt auf die ersten x'sen [mm](x_1, x_2,...)[/mm], genauso auch auf
> die hinteren x'sen [mm](x_1_1,x_1_2_...x_n)[/mm] beziehen kann?

[mm] g'(x^0) [/mm] ist eine $m [mm] \times [/mm] n$ - Matrix. Wegen m<n und der Vor. rg [mm] (g'(x^0))=m [/mm] hat also [mm] g'(x_0) [/mm] Höchstrang (Zeilenrang = Spaltenrang). Daher gibt es eine $m [mm] \times [/mm] m$- Untermatrix von [mm] g'(x^0), [/mm] welche inverteierbar ist. Der Autor nimmt nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass dies der erste $m [mm] \times [/mm] m$ - Block in [mm] g'(x^0) [/mm] ist.  Sollte das nicht der Fall sein, so kann man das durch Umbenennung der Variablen erreichen.


>  
> (F)
>  a. Ich denke da ist ein Druckfehler und muß statt u, x
> heißen?

Ja , das ist ein Druckfehler. Es soll lauten $x=(u,t)$

>  b. Der Vektor x wird also in zwei  Vektoren u und t
> aufgeteilt?

Ja


>  c. Bedeutet die Schreibweise (u,t) das Gleiche, wie ich
> auf dem Blatt in grün hingeschrieben habe?


Leider sehe ich nichts in grün !


> Könnte man das
> nicht auch so schreiben: [mm]x = (u, t)^T[/mm] .

Nein, mit x=(u,t) ist [mm] (u,t)^T=x^T. [/mm]


>
> (B)
>  Ich denke [mm]B(t^0,r)[/mm] ist die "...kleine Umgebung..."

Ja


> Was bedeutet "r" ? Vielleicht der Radius der
> Umgebungs-Kugel um [mm]t^0?[/mm]

Genau ! [mm]B(t^0,r)[/mm] ist die Kugel im [mm] \IR^{n-m} [/mm] um [mm] t^0 [/mm] mit Radius r.



>  
> (C)
>  Hier wird die Kettenregel auf die Funktion [mm]\varphi(t) = f(u(t),t)[/mm]
> angewendet. Im Argument von f steht eine vektormäßige
> Funktion u(t) und ein Vektor t. Die Kettenregel kenne ich
> aber so, das, z.B., nur u(t) drin steht. Die innere
> Funktion definiere ich mal so: [mm]\delta: t\varepsilon\IR^n^-^m\to (??), \delta(t):=(u(t),t)[/mm].


Nicht ganz.  Es ist $ [mm] \delta: B(t^0,r) \to \IR^n$ [/mm] definiert durch [mm] \delta(t)=(u(t),t). [/mm]


> Bei den (??) bin ich mir nicht sicher auf welche Menge
> abgebildet wird - vielleicht auf [mm]\IR^n?[/mm]  Die Funktion f
> bildet ja vom [mm]\IR^n[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab. Die komplette
> Abbildungskette ist mir auch nicht klar. Kann mir bitte
> jemand Schritt für Schritt zeigen, wie die Kettenregel auf
> [mm]\varphi(t) = f(u(t),t)[/mm] angewendet wird, bitte mit
> Erläuterung.

Es ist nach der Kettenregel  [mm] \varphi'(t)=f'( \delta(t)) \cdot \delta'(t). [/mm]


>
> (D)
>  Kann mir bitte jemand sagen, warum das grün
> unterstrichene aus dem vorherigen folgt?

Wieder sehe ich nichts in grün !


>  
> (E)
>  Wie ist diese Definition zu verstehen?



Welche ?????


>  Handelt es sich
> hier um "Matrix mal Vektor = Vektor" also sowas wie Ax=b?
> Ich weiß zwar nicht wie die Komponenten von b aussehen,
> aber diese werden wohl jeweils den [mm]\lambda's[/mm] zugeordnet?
> Kann mir bitte jemand das ein bischen erläutern?
>  
> Eine Menge frage, aber sehr lehrreich für mich.
>
> LG
>  Takota
>  
> Anhang
>  
> [a]Datei-Anhang
>  


Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Mo 06.08.2018
Autor: Takota

Kannst Du den Anhang jetzt öffnen? Bei mir gehts nicht.
Ich habe leduart die Quelle angegeben vielleicht prüft er noch?
Meiner Meinung ist das legitim, es steht ja auch nirgends Copyright (c)

Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:07 Mo 06.08.2018
Autor: fred97


> Kannst Du den Anhang jetzt öffnen? Bei mir gehts nicht.
>  Ich habe leduart die Quelle angegeben vielleicht prüft er
> noch?
>  Meiner Meinung ist das legitim, es steht ja auch nirgends
> Copyright (c)  

Das:

https://www.yumpu.com/de/document/view/12117595/lagrange-multiplikatoren-satz-seien-g-rn-offen-f-c-1gr-g-


habe ich geöffnet.


Bezug
                                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:10 Mo 06.08.2018
Autor: Takota

Ok. Das ist die Quelle ohne meine Einträge.

Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:30 Mo 06.08.2018
Autor: Takota

Zu (F) c:

Sind das also 2 Zeilenvektoren hintereinander folgend und durch Komma getrennt?
Ich dachte erst an so was:

$x= {u [mm] \choose [/mm] t}$

Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mo 06.08.2018
Autor: fred97


> Zu (F) c:
>  
> Sind das also 2 Zeilenvektoren hintereinander folgend und
> durch Komma getrennt?

Ja, wir haben [mm] u=(x_1,...,x_m) \in \IR^m [/mm] und [mm] t=(x_{m+1},..., x_n) \in \IR^{n-m}. [/mm]

Dann ist , zunächst formal, $x=(u,t) [mm] \in \IR^m \times \IR^{n-m}$. [/mm]

Den Raum [mm] \IR^m \times \IR^{n-m} [/mm] kannst Du aber mit dem Raum [mm] \IR^n [/mm] identifizieren, denn es gibt eine sehr einfache lineare und bijektive Abbildung $ [mm] \phi [/mm] :  [mm] \IR^m \times \IR^{n-m} \to \IR^n$. [/mm]

Welche meine ich wohl ?



>  Ich dachte erst an so was:
>  
> [mm]x= {u \choose t}[/mm]


Bezug
                                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Mo 06.08.2018
Autor: Takota


> > Zu (F) c:
>  >  
> > Sind das also 2 Zeilenvektoren hintereinander folgend und
> > durch Komma getrennt?
>  
> Ja, wir haben [mm]u=(x_1,...,x_m) \in \IR^m[/mm] und [mm]t=(x_{m+1},..., x_n) \in \IR^{n-m}.[/mm]
>  
> Dann ist , zunächst formal, [mm]x=(u,t) \in \IR^m \times \IR^{n-m}[/mm].
>  
> Den Raum [mm]\IR^m \times \IR^{n-m}[/mm] kannst Du aber mit dem Raum
> [mm]\IR^n[/mm] identifizieren, denn es gibt eine sehr einfache
> lineare und bijektive Abbildung [mm]\phi : \IR^m \times \IR^{n-m} \to \IR^n[/mm].
>  
> Welche meine ich wohl ?
>  

> Ein Isomorphismus? Liegt das daran, weil m+(n-m) = n (Summe der Dimensionen)?  

>
> >  Ich dachte erst an so was:

>  >  
> > [mm]x= {u \choose t}[/mm]
>  


Bezug
                                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Mo 06.08.2018
Autor: fred97


> > > Zu (F) c:
>  >  >  
> > > Sind das also 2 Zeilenvektoren hintereinander folgend und
> > > durch Komma getrennt?
>  >  
> > Ja, wir haben [mm]u=(x_1,...,x_m) \in \IR^m[/mm] und [mm]t=(x_{m+1},..., x_n) \in \IR^{n-m}.[/mm]
>  
> >  

> > Dann ist , zunächst formal, [mm]x=(u,t) \in \IR^m \times \IR^{n-m}[/mm].
>  
> >  

> > Den Raum [mm]\IR^m \times \IR^{n-m}[/mm] kannst Du aber mit dem Raum
> > [mm]\IR^n[/mm] identifizieren, denn es gibt eine sehr einfache
> > lineare und bijektive Abbildung [mm]\phi : \IR^m \times \IR^{n-m} \to \IR^n[/mm].
>  
> >  

> > Welche meine ich wohl ?
>  >  
> > Ein Isomorphismus?

Ja

>  Liegt das daran, weil m+(n-m) = n (Summe
> der Dimensionen)?

Ja, aber ganz einfach:

[mm] $\phi((x_1,....,x_m),(x_{m+1},...,x_n)):=(x_1,....,x_n)$. [/mm]


> >
> > >  Ich dachte erst an so was:

>  >  >  
> > > [mm]x= {u \choose t}[/mm]
> >  

>  


Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Mo 06.08.2018
Autor: Takota

Die Abbildung [mm] $\varphi \to \IR^n [/mm] kann nicht stimmen, da f nach [mm] \IR [/mm] abbildet?
So würde auch die Abbildungskette passen:

$ [mm] \IR^n^-^m \supset B(t^0,r) \to \IR^n \to \IR$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mo 06.08.2018
Autor: fred97


> Die Abbildung [mm]$\varphi \to \IR^n[/mm] kann nicht stimmen, da f
> nach [mm]\IR[/mm] abbildet?

OOOps, ja Du hast recht. [mm] \varphi [/mm] ist reellwertig.


>  So würde auch die Abbildungskette passen:
>  
> [mm]\IR^n^-^m \supset B(t^0,r) \to \IR^n \to \IR[/mm]


Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:32 Mo 06.08.2018
Autor: Takota


> > (C)
>  >  Hier wird die Kettenregel auf die Funktion [mm]\varphi(t) = f(u(t),t)[/mm]
> > angewendet. Im Argument von f steht eine vektormäßige
> > Funktion u(t) und ein Vektor t. Die Kettenregel kenne ich
> > aber so, das, z.B., nur u(t) drin steht. Die innere
> > Funktion definiere ich mal so: [mm]\delta: t\varepsilon\IR^n^-^m\to (??), \delta(t):=(u(t),t)[/mm].
>
>
> Nicht ganz.  Es ist [mm]\delta: B(t^0,r) \to \IR^n[/mm] definiert
> durch [mm]\delta(t)=(u(t),t).[/mm]
>  
>
> > Bei den (??) bin ich mir nicht sicher auf welche Menge
> > abgebildet wird - vielleicht auf [mm]\IR^n?[/mm]  Die Funktion f
> > bildet ja vom [mm]\IR^n[/mm] nach [mm]\IR[/mm] ab. Die komplette
> > Abbildungskette ist mir auch nicht klar. Kann mir bitte
> > jemand Schritt für Schritt zeigen, wie die Kettenregel auf
> > [mm]\varphi(t) = f(u(t),t)[/mm] angewendet wird, bitte mit
> > Erläuterung.
>
> Es ist nach der Kettenregel  [mm]\varphi'(t)=f'( \delta(t)) \cdot \delta'(t).[/mm]


Mich irritieren die zwei Zeilenvektoren als Argument in f.

Wie muß ich das Ganze betrachten, damit ich die Kettenregel darauf richtig anwenden kann?










Bezug
                        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 14.08.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Mi 08.08.2018
Autor: leduart

Hallo Takota
warum benutzt du diesen sehr abstrakten Text, um zu einem Verständnis des Lagrange - Formalismus zu kommen? hast du dir mal den wiki Artikel mit der anschaulichen Erklärung des Formalismus angesehen? es geht doch eigentlich nur darum, dass der grad der nebenbedingungen kolinear zu dem Grad der funktion sein muss, in 2 d ist das direkt anschaulich klar, es dann auf 3 d zu übertragen erfordert etwas mehr 3d Anschaung, ist aber eigentlich dasselbe. Ich denke nicht, dass diese rein formale Darstellung in dem uni- skript dir wirklich zum verständnis hilft. wozu brauchst du das genau?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Lagrange-Multiplikatoren-Bewei: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:53 Sa 11.08.2018
Autor: Takota

Hallo leduart,

danke für Dein gut gemeinter Hinweis. Wie ich in meinem Profil erwähnt habe, bin ich motiviert, meine Mathekenntnisse aus meinem früheren Ingenieurstudium wieder aufzufrischen. Das soll aber nicht nur ein auffrischen sein, sonder auch zu einem tieferen Verständniss führen. Dazu wende ich viel Zeit auf, die ich während meinem Studium nicht hatte, und vieles nur oberflächlich behandelt wurde - was sehr unbefriedegend für mich ist. Ich finde es großartig, sich hier mit richtigen Mahtematikern austauschen zu können und die auch einem helfen. Ich denke für einen Mathematiker ist es auch eine Herausforderung komplizierte Sachverhalte einem Laien verständlich zu erklären.

Wenn Du willst, kannst Du mein Anhang wieder löschen. Falls jemand interessiert ist, kann ich ihm eine PM mit PDF schicken.

LG
Takota

Bezug
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