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| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\4\\2}+r\vektor{0\\2\\1} [/mm] und die Ebene E: x+2y+3z = 9
Zeigen Sie , dass g und E sich schneiden. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S. |
Hallo , also das ist eine Beispielaufgabe und der Schnittpunkt lautet S(2|2|1) mit r = -1
Okay , das habe ich verstanden , aber jetzt habe ich es als Übung mal andersrum probiert.
Die haben einfach in die Ebene x,y und z Werte eingesetzt.
Ich wollte es so als Übung machen :
Ich wollte aus der Koordinatenform der Ebene eine Parameterform bestimmen. Zunächst habe ich die Koordinatenform in die Normalenform umgewandelt und von dieser Normalenform wollte ich zur Parameterform , sodass ich am Ende die Gerade und die Ebene ( als Parameterform ) gleichsetzen , um so zur angegebenen Lösung zu kommen , allerdings entsteht bei mir ein Widerspruch , also lange Rede kurzer Sinn :
E : x+2y+3z = 9
Der Punkt (0|0|3) liegt auf dieser Ebene , und den Normalenvektor kann man ablesen [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3}, [/mm] also :
E : [mm] [\vec{x}-\vektor{0\\0\\3}]*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
So und jetzt habe ich einen Normalenvektor und einen Stütztvektor.
Den Stützvektor übernehme ich , allerdings muss ich ejtzt zwei Richtugnsvektoren bestimmen , die senkrecht auf dem Normalenvektor stehen , sprich, Skalar-Multiplikation muss am Ende das Produkt 0 rauskommen , also :
Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\3}
[/mm]
Ein Richtugnsvektor , der senkrecht auf [mm] \vec{n} [/mm] steht , ist zum Beispiel : [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\0} [/mm] , ein zweiter Richtugnsvektor ist zum Beispiel [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0\\3\\-2}
[/mm]
Daraus folgt die Parametergleichung der Ebene :
E : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2}
[/mm]
So , jetzt setze ich endlich die Gerade und die Ebene gleich :
=>
[mm] \vektor{2\\4\\2}+r\vektor{0\\2\\1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2}
[/mm]
=>
I 2 = 2r ( r = 1 )
II 4+2r = -r + 3s ( da r = 1 ist , folgt) :
6 = -1 +3s ( daraus folgt , s = [mm] \bruch{7}{3}
[/mm]
III 2+r = 3-2s
Und hier ist das Problem , wenn ich das r und das s in die dritte Gleichung einsetze , bekomme ich 3 = [mm] -\bruch{5}{3}
[/mm]
Und das ist ein Widerspruch , also dürfte theoretisch garkein Schnittpunkt existieren , es existiert aber einer , was soll ich jetzt machen ?
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Gerade g: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\4\\2}+r\vektor{0\\2\\1}[/mm] und die Ebene E: x+2y+3z
> = 9
>
> Zeigen Sie , dass g und E sich schneiden. Bestimmen Sie den
> Schnittpunkt S.
>
> Hallo , also das ist eine Beispielaufgabe und der
> Schnittpunkt lautet S(2|2|1) mit r = -1
>
> Okay , das habe ich verstanden , aber jetzt habe ich es als
> Übung mal andersrum probiert.
>
> Die haben einfach in die Ebene x,y und z Werte eingesetzt.
>
> Ich wollte es so als Übung machen :
>
> Ich wollte aus der Koordinatenform der Ebene eine
> Parameterform bestimmen. Zunächst habe ich die
> Koordinatenform in die Normalenform umgewandelt und von
> dieser Normalenform wollte ich zur Parameterform , sodass
> ich am Ende die Gerade und die Ebene ( als Parameterform )
> gleichsetzen , um so zur angegebenen Lösung zu kommen ,
> allerdings entsteht bei mir ein Widerspruch , also lange
> Rede kurzer Sinn :
>
> E : x+2y+3z = 9
>
> Der Punkt (0|0|3) liegt auf dieser Ebene , und den
> Normalenvektor kann man ablesen [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\3},[/mm]
> also :
>
> E : [mm][\vec{x}-\vektor{0\\0\\3}]*\vektor{1\\2\\3}[/mm]
>
> So und jetzt habe ich einen Normalenvektor und einen
> Stütztvektor.
>
> Den Stützvektor übernehme ich , allerdings muss ich ejtzt
> zwei Richtugnsvektoren bestimmen , die senkrecht auf dem
> Normalenvektor stehen , sprich, Skalar-Multiplikation muss
> am Ende das Produkt 0 rauskommen , also :
>
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm]
>
> Ein Richtugnsvektor , der senkrecht auf [mm]\vec{n}[/mm] steht , ist
> zum Beispiel : [mm]\vec{u}[/mm] = [mm]\vektor{2\\-1\\0}[/mm] , ein zweiter
> Richtugnsvektor ist zum Beispiel [mm]\vec{v}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\3\\-2}[/mm]
>
> Daraus folgt die Parametergleichung der Ebene :
>
> E : [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2}[/mm]
>
> So , jetzt setze ich endlich die Gerade und die Ebene
> gleich :
>
> =>
> [mm]\vektor{2\\4\\2}+r\vektor{0\\2\\1}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2}[/mm]
>
> =>
>
> I 2 = 2r ( r = 1 )
>
> II 4+2r = -r + 3s ( da r = 1 ist , folgt) :
> 6 = -1 +3s ( daraus folgt , s = [mm]\bruch{7}{3}[/mm]
>
> III 2+r = 3-2s
>
> Und hier ist das Problem , wenn ich das r und das s in die
> dritte Gleichung einsetze , bekomme ich 3 = [mm]-\bruch{5}{3}[/mm]
>
> Und das ist ein Widerspruch , also dürfte theoretisch
> garkein Schnittpunkt existieren , es existiert aber einer ,
> was soll ich jetzt machen ?
>
> Danke im Voraus.
Der Fehler ist hier:
=>
$ [mm] \vektor{2\\4\\2}+r\vektor{0\\2\\1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2} [/mm] $
Rechts und links steht r !
Löse das LGS
$ [mm] \vektor{2\\4\\2}+t\vektor{0\\2\\1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0\\0\\3}+r\vektor{2\\-1\\0}+s\vektor{0\\3\\-2} [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 27.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Oh man , ich rechne mich hier verrückt , wegen einem Parameter.
Alles klar , vielen Dank für die schnelle Korrektur , somit hat sich jede Frage erübrigt :D
Danke vielmals.
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