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Länge Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:13 Mi 01.07.2020
Autor: James90

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo zusammen,

wir sollen zeigen, dass die Kurve $\gamma\colon[0,1]\to\IR^2$ mit $\gamma(x)=\vektor{x \\ x\cos(\frac{\pi}{x})}}$ für x\not=0 und 0 für x=0 keine endliche Länge besitzt.

Dazu würde ich die Formel aus der VL nutzen: $L(\gamma)=\int_0^1||\gamma'(x)||dx$.

Für die Ableitung gilt \gamma'(x)=\vektor{1 \\ \cos(\frac{\pi}{x})+\frac{\pi}{x}\sin(\frac{\pi}{x})} fpr x\not=0 und  \gamma'(x)=0 für x=0

Für die Norm gilt ||\gamma'(x)||=\sqrt{1+(cos^2(\frac{\pi}{x})+\frac{2\pi}{x}\sin(\frac{\pi}{x})\cos(\frac{\pi}{x})+(\frac{\pi}{x})^2\sin^2(\frac{\pi}{x}))}

Kann man das nun irgendwie zusammenfassen?
Ich weiß, dass 2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x) und sin^2(x)+\cos^2(x)=1 gilt.
Vielleicht habe ich mich auch verrannt?

Ich glaube, dass ich hier einen Fehler mache.
Ist die Kurve überhaupt stetig? Für x\not=0 ist es klar, aber für x=0 nicht.

Vielen Dank und viele Grüße
James

        
Bezug
Länge Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Mi 01.07.2020
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> wir sollen zeigen, dass die Kurve [mm]\gamma\colon[0,1]\to\IR^2[/mm]
> mit [mm]\gamma(x)=\vektor{x \\ x\cos(\frac{\pi}{x})}}[/mm] für
> [mm]x\not=0[/mm] und 0 für x=0 keine endliche Länge besitzt.

Besser: ... und [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] für x=0.

>  
> Dazu würde ich die Formel aus der VL nutzen:
> [mm]L(\gamma)=\int_0^1||\gamma'(x)||dx[/mm].

Keine gute Idee, denn diese Formel benötigt die Voraussetzung, dass [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar ist, was aber hier nicht der Fall ist (warum ?).

Man muss auf die Definition der "Rektifizierbarkeit" zurück.

Ich könnte Dir das jetzt vormachen, veweise aber lieber auf Beispiel 39.2 in

https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/rogge/Ana39.pdf

>  
> Für die Ableitung gilt [mm]\gamma'(x)=\vektor{1 \\ \cos(\frac{\pi}{x})+\frac{\pi}{x}\sin(\frac{\pi}{x})}[/mm]
> fpr [mm]x\not=0[/mm] und  [mm]\gamma'(x)=0[/mm] für x=0
>  
> Für die Norm gilt
> [mm]||\gamma'(x)||=\sqrt{1+(cos^2(\frac{\pi}{x})+\frac{2\pi}{x}\sin(\frac{\pi}{x})\cos(\frac{\pi}{x})+(\frac{\pi}{x})^2\sin^2(\frac{\pi}{x}))}[/mm]
>  
> Kann man das nun irgendwie zusammenfassen?
>  Ich weiß, dass [mm]2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)[/mm] und
> [mm]sin^2(x)+\cos^2(x)=1[/mm] gilt.
>  Vielleicht habe ich mich auch verrannt?
>  
> Ich glaube, dass ich hier einen Fehler mache.
>  Ist die Kurve überhaupt stetig? Für [mm]x\not=0[/mm] ist es klar,
> aber für x=0 nicht.
>  
> Vielen Dank und viele Grüße
>  James


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Bezug
Länge Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Mi 01.07.2020
Autor: James90

Hallo Fred,

danke dir wieder für deine Hilfe!

> Keine gute Idee, denn diese Formel benötigt die
> Voraussetzung, dass [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist, > was aber hier nicht der Fall ist (warum ?).

Weil [mm] $\lim_{x\to 0}\cos(\pi/x)$ [/mm] nicht definiert, dachte ich:

> > Ist die Kurve überhaupt stetig? Für [mm]x\not=0[/mm] ist es
> > klar, aber für x=0 nicht.

Aber im Dokument von dir steht, dass die Funktion stetig ist und man den Fall überprüfen soll.
Mache ich einen Fehler bei der Stetigkeit?
Die Funktion ist aber differenzierbar (und damit auch stetig). Die Ableitung ist aber nicht stetig, somit nicht stetig differenzierbar.

Danke dir!

Bezug
                        
Bezug
Länge Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 01.07.2020
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke dir wieder für deine Hilfe!
>  
> > Keine gute Idee, denn diese Formel benötigt die
> > Voraussetzung, dass [mm]\gamma[/mm] stetig differenzierbar ist, >
> was aber hier nicht der Fall ist (warum ?).
>  
> Weil [mm]\lim_{x\to 0}\cos(\pi/x)[/mm] nicht definiert, dachte ich:

Na ja, setzen wir $ f(x):=x [mm] \cos(\pi/x)$ [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0, so ist f in x=0 nicht differenzierbar, denn

[mm] \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\cos(\pi/x) [/mm]  existiert nicht !

Damit is auch [mm] \gamma [/mm] in x=0 nicht differenzierbar.


>  
> > > Ist die Kurve überhaupt stetig? Für [mm]x\not=0[/mm] ist es
> > > klar, aber für x=0 nicht.

Nein. Die Funktion  [mm] \cos(\pi/x) [/mm] ist beschränkt, damit gilt [mm] \lim_{x\to 0}x \cos(\pi/x) [/mm] =0. Folglich gilt

[mm] \lim_{x\to 0}\gamma(x)= \vektor{0 \\ 0}= \gamma(0). [/mm]

Daher ist [mm] \gamma [/mm] in x=0 stetig.


>  
> Aber im Dokument von dir steht, dass die Funktion stetig
> ist und man den Fall überprüfen soll.

Das haben wir gerade gemacht: [mm] \gamma [/mm] ist stetig !

>  Mache ich einen Fehler bei der Stetigkeit?
>  Die Funktion ist aber differenzierbar (und damit auch
> stetig).

Nochmal: [mm] \gamma [/mm] ist in x=0 nicht differenzierbar.


> Die Ableitung ist aber nicht stetig, somit nicht
> stetig differenzierbar.

Wir haben als Fazit:

1. [mm] \gamma [/mm] ist auf [0,1] stetig.

2. [mm] \gamma [/mm] ist auf (0,1] stetig differenzierbar.

3. [mm] \gamma [/mm] ist in x=0 nicht differenzierbar.


>  
> Danke dir!


Bezug
                                
Bezug
Länge Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:27 Mi 01.07.2020
Autor: James90

Vielen lieben Dank Fred!

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Länge Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Mi 01.07.2020
Autor: HJKweseleit

Bisher wurde der Beweis für die Nicht-Endlichkeit der Kurve noch nicht erbracht. Ich würde schwerpunktmäßig graphisch argumentieren - dann benötigst du kein Integral, keine Ableitung und nur die Divergenz der harmonischen Reihe:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Nullstellen [mm] \ne [/mm] 0:
[mm] x*cos(\pi/x)=0 [/mm] und x [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \gdw cos(\pi/x)=0 \gdw \pi/x=(k+0,5)*\pi \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{k+0,5}, [/mm]  k [mm] \in \IZ [/mm]
Insbesondere sind auch x = [mm] \bruch{1}{2n+0,5}, [/mm]  n [mm] \in \IZ [/mm] Nullstellen.


Hochpunkte von [mm] cos(\pi/x): [/mm]
[mm] cos(\pi/x)=1 \gdw \pi/x [/mm] = [mm] 2n\pi \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2n}, [/mm]  n [mm] \in \IZ [/mm]
Dort hat [mm] x*cos(\pi/x) [/mm] den Funktionswert [mm] \bruch{1}{2n}*1. [/mm]

Betrachte den grünen Linienzug. Er geht von [mm] (\bruch{1}{2n}|\bruch{1}{2n}) [/mm] zur nächsten Nullstelle [mm] (\bruch{1}{2n+0,5}|0) [/mm] und ist somit länger als [mm] \bruch{1}{2n}. [/mm]

Die Menge dieser Linienzüge macht nur etwa 1/4 der Gesamtlänge der Kurve aus.

Die Summe der Teilstücke ist aber schon größer als
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} =\bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \infty. [/mm]

Also ist die Kurve [mm] \infty [/mm] lang.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Länge Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:36 Do 02.07.2020
Autor: James90

Hallo!

vielen Dank für deinen alternativen Lösungsweg.
Er gefällt mir echt ganz gut.
Danke dir für deine Mühe, insbesondere mit der Darstellung!
Mit welchem Tool machst du das?

Du hast zwar recht, dass die Länge nicht direkt berechnet wurde, aber bei der angegebenen Lösung (siehe Link von Fred) wird gezeigt, dass der Weg nicht rektifizierbar ist und dieser hat dann somit per Definition keine endliche Länge.

Viele Grüße
James

Bezug
                        
Bezug
Länge Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Fr 03.07.2020
Autor: HJKweseleit


> Hallo!
>  
> vielen Dank für deinen alternativen Lösungsweg.
>  Er gefällt mir echt ganz gut.
>  Danke dir für deine Mühe, insbesondere mit der
> Darstellung!
>  Mit welchem Tool machst du das?

Mit wplot (freeware) lassen sich Graphen (auch 3-dim.) darstellten. Dann Screenshot gemacht und mit Paint bearbeitet.

>  
> Du hast zwar recht, dass die Länge nicht direkt berechnet
> wurde, aber bei der angegebenen Lösung (siehe Link von
> Fred) wird gezeigt, dass der Weg nicht rektifizierbar ist
> und dieser hat dann somit per Definition keine endliche
> Länge.

Den Link hatte ich mir nicht angesehen.

>  
> Viele Grüße
>  James


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