LGS mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit von [mm] a\in\IR
[/mm]
[mm] ax_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = - 2
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -1
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 3 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
Ich habe Probleme das genannte LGS zu lösen. Ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll. Könntet ihr mir evtl. einen Tipp zum Starten geben?
Eigentlich hatte ich nie Probleme mit lin. Gleichungssystemen aber dieser Parameter a stört mich total.
Ich habs mit dem Gauß Algorithmus versucht aber ich schaffe es einfach nicht auf die Treppenform zu kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 19.11.2009 | | Autor: | glie |
> Geben sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems
> in Abhängigkeit von [mm]a\in\IR[/mm]
>
> [mm]ax_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = - 2
> [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = -1
> [mm]-x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 3
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Leute,
>
> Ich habe Probleme das genannte LGS zu lösen. Ich weiß
> einfach nicht wie ich anfangen soll. Könntet ihr mir evtl.
> einen Tipp zum Starten geben?
>
> Eigentlich hatte ich nie Probleme mit lin.
> Gleichungssystemen aber dieser Parameter a stört mich
> total.
>
> Ich habs mit dem Gauß Algorithmus versucht aber ich
> schaffe es einfach nicht auf die Treppenform zu kommen.
Hallo,
kennst du das Determinantenverfahren?
Das könnte hier wirklich weiterhelfen.
Gruß Glie
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Nein kenne das Determintantenverfahren nicht.
Ich habe ja schon Gleichungsysteme mit Parametern gelöst aber bei diesem komm ich nichtmal ansatzweise auf einen grünen Zweig.
In der Vorlesung haben wir dieses Verfahren auch nicht besprochen.
Eigentlich wurden LGS nur kurz angeschnitten mit einer Beispielaufgabe. Das ist auch die einzige Aufgabe in den bisherigen Übungszetteln zu LGS.
Ich will es halt verstehen aber momentan sitze ich seid 3 Stunden davor und glaube so langsam, dass ich zu doof bin :)
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Hallo,
> Nein kenne das Determintantenverfahren nicht.
> Ich habe ja schon Gleichungsysteme mit Parametern gelöst
> aber bei diesem komm ich nichtmal ansatzweise auf einen
> grünen Zweig.
Behandle doch das [mm] \\a [/mm] als wäre es eine Zahl. Und mehr ist sie ja auch nicht. Rechne zunächst I-aII und danach I+aIII
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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ist die Lösung:
[mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] = -1
und a = 0
richtig?
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Hallo,
> ist die Lösung:
>
> [mm]x_1[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_3[/mm] = -1
> und a = 0
>
> richtig?
Ich hab das nicht durch gerechnet. Aber setzte doch mal deine Ergebnisse ein und schaue ob alle Gleichungen erfüllt sind.
PS Und bitte in Zukunft mit Rechenweg posten. 
Gruß
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ja also wenn ich alles einsetze in die Anfangsgleichungen dann passt es :)
hier mal der rechenweg:
[mm] ax_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = -2
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -1 | +Zeile3
[mm] -x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 3
=>
[mm] ax_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = -2 | +Zeile 2
[mm] 0x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 2
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 3
=>
[mm] ax_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] 0x_3 [/mm] = 0 => x = 0
[mm] 0x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 2
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = 3 | - 2*Zeile 2
=>
[mm] 0x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] = 2
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 0x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -1
[mm] x_1 [/mm] in Zeile 3 einsetzen => [mm] x_3 [/mm] = -1
[mm] x_3 [/mm] noch in Zeile 2 einsetzen => [mm] x_2 [/mm] = 0
a ist dann auch = 0
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Und wie gebe ich nun die Lösungsmenge in abhängigkeit von [mm] a\in\IR [/mm] an?also wie schreibe ich das zb. in der Klausur auf.
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Hallo,
[mm] \IL= [/mm] {( [mm] 0;0;1)^{T} [/mm] }
Edit: Natürlich ist das nicht die gesuchte einzige Lösung denn ich hatte das [mm] \a [/mm] vergessen und eben die Fallunterscheidung. Richtige Lösung siehe im Artikel von "glie"
Gruß
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 06:26 Fr 20.11.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
>
> [mm]\IL=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{( [mm]0;0;1)^{T}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Gruß
Sorry, aber so stimmt das nicht!
Da fehlt ja völlig die Abhängigkeit vom Parameter a!
Näheres in weiterer Antwort.
Gruß Glie
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:28 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo glie,
du hast natürlich Recht. Ich hatte das [mm] \a [/mm] total verschludert. Vielen Dank fürs aufpassen und für die Korrektur.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:33 Fr 20.11.2009 | | Autor: | glie |
> ja also wenn ich alles einsetze in die Anfangsgleichungen
> dann passt es :)
Hallo,
wie bereits in der Korrekturmitteilung gesagt, stimmt das so nicht!
Ich zeige dir, wo genau dein Fehler liegt.
>
> hier mal der rechenweg:
>
> [mm]ax_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = -2
> [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = -1 | +Zeile3
> [mm]-x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 3
>
> =>
>
> [mm]ax_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = -2 | +Zeile 2
> [mm]0x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 2
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 3
>
> =>
>
> [mm]ax_1[/mm] + [mm]0x_2[/mm] + [mm]0x_3[/mm] = 0 => x = 0
Hier ist der Fehler passiert!!
Aus [mm] $a*x_1=0$ [/mm] folgt nicht zwangsläufig, dass [mm] $x_1=0$ [/mm] sein muss.
Was ist denn los, wenn der Parameter a den Wert Null hat??
Dann steht da [mm] $0*x_1=0$ [/mm]
Das ist für beliebige [mm] $x_1$ [/mm] erfüllt.
Du musst also eine Fallunterscheidung machen:
Wenn [mm] $a\not=0$ [/mm] ist, dann ist deine Lösung korrekt.
Falls $a=0$, dann hat das LGS unendlich viele Lösungen.
Bestimme diese.
Zur Kontrolle:
Im Fall $a=0$ ist [mm] $\IL=\{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\in \IR^3|\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+\lambda*\vektor{1 \\ 2 \\ -1},\lambda\in \IR\}$
[/mm]
Gruß Glie
> [mm]0x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 2
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3[/mm] = 3 | - 2*Zeile 2
>
> =>
>
> [mm]0x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] = 2
> [mm]x_1[/mm] + [mm]0x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = -1
>
> [mm]x_1[/mm] in Zeile 3 einsetzen => [mm]x_3[/mm] = -1
>
> [mm]x_3[/mm] noch in Zeile 2 einsetzen => [mm]x_2[/mm] = 0
>
> a ist dann auch = 0
>
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ok, also muss ich generell bei solchen aufgaben diese Fallunterscheidung machen? für a=0 und [mm] a\ne0?
[/mm]
also müsste ich das LGS nochmal lösen mit a=0 oder wie? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | glie |
> ok, also muss ich generell bei solchen aufgaben diese
> Fallunterscheidung machen? für a=0 und [mm]a\ne0?[/mm]
> also müsste ich das LGS nochmal lösen mit a=0 oder wie?
> :)
Also mit solchen Aussagen ist das so eine Sache. Nicht bei jedem Gleichungssystem, das einen Parameter enthält, ergibt sich die oben genannte Fallunterscheidung. Kann doch auch sein dass du für $a=1$ unendlich viele Lösungen erhältst, oder dass es noch mehr Fälle gibt, zum Beispiel, dass es einen Wert des Parameters gibt, für den das Gleichungssystem keine Lösung hat.
Kann aber genausogut sein, dass keine Fallunterscheidung nötig wird.
Fazit: Es kommt einfach drauf an! Pauschal kann man das nicht sagen!
Hier in deiner Aufgabe ergeben sich eben für a=0 unendlich viele Lösungen und um diese zu bestimmen, schreibst du dir das LGS mit a=0 nochmal hin und löst es so wie du es gelernt hast (z.B. mit Gauß).
Dann solltest du auf die Lösungsmenge kommen, die ich dir in meiner vorherigen Antwort angegeben habe.
Gruß Glie
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Hallo,
> ist die Lösung:
>
> [mm]x_1[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_3[/mm] = -1
> und a = 0
>
> richtig?
Übrigens es stimmt. Ich hätte es dir ja schon direkt am anfangen sagen können aber du kannst immer selbst gucken ob dein ergebnis stimmt indem du deinen Lösungen in die gleichung ensetzt und schaust ob alles passt 
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Fabian1986 |
achso du hattest nochmal geantwortet. Habe jetz meinen Rechenweg noch kurz hier eingefügt.
Alles klar dann danke ich dir erstmal. War doch total einfach die Aufgabe nur hab ich über 3 Stunden irgendwie an der Lösung vorbei gedacht. :)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
alles richtig 