LGS, Matrizen und die LösMenge < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Domme |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1) Bestimme die Lösungsmenge des LGS:
[mm] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} [/mm] = 3
[mm] 2x_{1}+x_{2}+2x_{3} [/mm] = 0
[mm] 1x_{1}+ 3x_{3} [/mm] = 2
(i) über den Körper K = [mm] \IR,
[/mm]
(ii) über den Körper K = [mm] \IZ_{5} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2) Man bestimme die Lösungsmenge für das lineare Gleichungssystem über dem Körper [mm] \IR [/mm] mit der Koeffizientenmatrix
A := [mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 3 & -1 \\ 2 & 0 }
[/mm]
und
(i) mit b1 := [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 3} [/mm] als rechte Seite,
(ii) mit b2 := [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] als rechte Seite. |
| Aufgabe 3 | Aufgabe 3) Als ich so alt war wie meine Schwester heute ist, war ich doppelt
so alt wie sie. In füunf Jahren bin ich doppelt so alt wie meine Schwester heute ist. Wie alt bin ich und wie alt ist meine Schwester? |
Zur ersten Aufgabe:
(i) Die [mm] \IL [/mm] ist bei mir [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \}, [/mm] da in der letzten Zeile (nach meiner Umformung) 0= -15 steht, was eine unwahre Aussage ist. Stimmt das?
(ii) Wie muss ich das LGS den jetzt lösen, wenn es um den Körper [mm] \IZ_{5} [/mm] geht? Ich weiß ja das in dem Körper [mm] \IZ_{5} [/mm] die Elemente 0,1,2,3,4 enthalten sind. Aber wie wende ich das auf die Lösungsmenge bzw. auf das LGS an?
Zur zweiten Aufgabe:
Hier wollte ich mich eigentlich nur vergewissern, ob ich richtig gerechnet habe.
(i) Dort habe ich eine Lösungsmenge von [mm] \IL [/mm] = [mm] \{1,5 und 3,5\}
[/mm]
(i) Dort habe ich die Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] = [mm] \{ \}
[/mm]
Stimmt das?
Zur dritten Aufgabe:
Zuerst habe ich mal x= Alter der Schwester und y= Alter von "ich" definiert.
Dann habe ich versucht die beiden Gleichungen aufzustellen:
I. y+5 = 2x
II. y - (y - x) = 2(x - (y - x))
Sind die überhaupt richtig?
Also ich habe die erste nach y = 2x-5 umgeformt und diese dann in die zweite Gleichung eingesetzt. Nach einen paar Umformungen kam bei mir dann 0 = 10 raus, was eigentlich bedeutet das es keine Lösung gibt aber ich weiß zb. durch ausprobieren, dass die Schwester zb. 10 sein kann (x=10) und "ich" 15 (y=15). Weiter fällt auf, dass die Aufgabe mehre Lösungen haben kann, weil die Aufgabe immer stimmt wenn die Schwester = 0/ 10/ 20... und
"ich" = 5/ 15/ 25 usw. ist. Doch bekomme ich dies ja leider nicht durch die Gleichungen heraus? Kann mir jemand helfen? Ich denke das ich dann etwas bei der Gleichungenaufstellung falsch gemacht habe.
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Hallo Domme,
ich unterteile die Antwort mal, sonst wird es unübersichtlich.
> Aufgabe 1) Bestimme die Lösungsmenge des LGS:
> [mm]3x_{1}+2x_{2}+x_{3}[/mm] = 3
> [mm]2x_{1}+x_{2}+2x_{3}[/mm] = 0
> [mm]1x_{1}+ 3x_{3}[/mm] = 2
>
> (i) über den Körper K = [mm]\IR,[/mm]
> (ii) über den Körper K = [mm]\IZ_{5}[/mm]
> Zur ersten Aufgabe:
> (i) Die [mm]\IL[/mm] ist bei mir [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ \},[/mm] da in der letzten
> Zeile (nach meiner Umformung) 0= -15 steht, was eine
> unwahre Aussage ist. Stimmt das?
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (ii) Wie muss ich das LGS den jetzt lösen, wenn es um den
> Körper [mm]\IZ_{5}[/mm] geht? Ich weiß ja das in dem Körper
> [mm]\IZ_{5}[/mm] die Elemente 0,1,2,3,4 enthalten sind. Aber wie
> wende ich das auf die Lösungsmenge bzw. auf das LGS an?
In [mm] \IZ_5 [/mm] ist die Äquivalenz [mm] 0\equiv{-15} [/mm] ja richtig und das LGS daher lösbar. Allerdings sagt Dir Deine bisherige Rechnung auch, dass eine Variable frei wählbar ist, die Lösung also parameterbehaftet.
Eine Lösung wäre z.B. [mm] x_3=t, x_2=1-t, x_1=2+2t.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Domme |
Vielen Dank für die schnelle Antwort zu Aufgabe 1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Domme |
Danke für die Antwort. Habe auch mal nachgerechnet...
Stimmen auch diese Zusammenhänge:
[mm] x_{3}= [/mm] t, [mm] x_{2}= [/mm] 6+4t, [mm] x_{1}= [/mm] -3+3t
?
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Hallo Domme,
> Danke für die Antwort. Habe auch mal nachgerechnet...
> Stimmen auch diese Zusammenhänge:
> [mm]x_{3}=[/mm] t, [mm]x_{2}=[/mm] 6+4t, [mm]x_{1}=[/mm] -3+3t ?
6+4t ist äquivalent zu 1-t, also korrekt.
Bei [mm] x_1 [/mm] muss es aber heißen [mm] x_1=-3\blue{-}3t\quad \green{(\equiv2+2t \mod{5})}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Domme |
Stimmt, vielen Dank ;)
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Hallo nochmal,
> Aufgabe 2) Man bestimme die Lösungsmenge für das lineare
> Gleichungssystem über dem Körper [mm]\IR[/mm] mit der
> Koeffizientenmatrix
> A := [mm]\pmat{ -1 & 1 \\
3 & -1 \\
2 & 0 }[/mm]
> und
> (i) mit b1 := [mm]\vektor{2 \\
1 \\
3}[/mm] als rechte Seite,
> (ii) mit b2 := [mm]\vektor{2 \\
1 \\
2}[/mm] als rechte Seite.
>
> Zur zweiten Aufgabe:
> Hier wollte ich mich eigentlich nur vergewissern, ob ich
> richtig gerechnet habe.
> (i) Dort habe ich eine Lösungsmenge von [mm]\IL[/mm] = [mm]\{1,5 und 3,5\}[/mm]
Das ist richtig.
> (i) Dort habe ich die Lösungsmenge [mm]\IL[/mm] = [mm]\{ \}[/mm]
> Stimmt
> das?
Das auch.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
> Aufgabe 3) Als ich so alt war wie meine Schwester heute
> ist, war ich doppelt
> so alt wie sie. In füunf Jahren bin ich doppelt so alt
> wie meine Schwester heute ist. Wie alt bin ich und wie alt
> ist meine Schwester?
>
> Zur dritten Aufgabe:
> Zuerst habe ich mal x= Alter der Schwester und y= Alter
> von "ich" definiert.
> Dann habe ich versucht die beiden Gleichungen
> aufzustellen:
> I. y+5 = 2x
> II. y - (y - x) = 2(x - (y - x))
> Sind die überhaupt richtig?
Die Reihenfolge ist nicht die der Angaben in der Aufgabe, aber das ist ja egal. Ansonsten sind die Gleichungen richtig aufgestellt.
> Also ich habe die erste nach y = 2x-5 umgeformt und diese
> dann in die zweite Gleichung eingesetzt. Nach einen paar
> Umformungen kam bei mir dann 0 = 10 raus,
Dann hast Du Dich verrechnet.
> was eigentlich
> bedeutet das es keine Lösung gibt aber ich weiß zb. durch
> ausprobieren, dass die Schwester zb. 10 sein kann (x=10)
> und "ich" 15 (y=15).
Jaaa...
> Weiter fällt auf, dass die Aufgabe
> mehre Lösungen haben kann, weil die Aufgabe immer stimmt
> wenn die Schwester = 0/ 10/ 20... und
> "ich" = 5/ 15/ 25 usw. ist.
Nein...
> Doch bekomme ich dies ja leider
> nicht durch die Gleichungen heraus? Kann mir jemand helfen?
> Ich denke das ich dann etwas bei der Gleichungenaufstellung
> falsch gemacht habe.
Dein Gleichungssystem ist doch (nur etwas umgeformt):
2x-y=5
3x-2y=0
Das ist eindeutig lösbar - also nur eine Lösung.
Rate mal, welche... 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Domme |
Vielen Dank! Habe mich echt einfach nur verrechnet... Einfach nächtest Mal besser aufpassen ;)
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