LGS Lösungsraum und Stufenform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 So 13.01.2008 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | Gegeben Sei das reelle lineare Gleichungssystem
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 4 & 6 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\ x_{7} } [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
1. Begründen Sie, ohne vil zu rechnen, warum das LGS lösbar ist.
2. Bestimmen Sie den Lösungsraum des LGS.
3. Führen Sie folgendes lineres Gleichungssystem durch elementare Umformungen in Zeilenstufenform über
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 0 & 4 & 6 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 7 & 8 & 1 & 5 \\ 0 & 4 & 2 & 11 & 14 & 4 & 11} \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \\x_{7}} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 9}
[/mm]
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Also bei erstens hab ich zwei Ideen. Entweder ist es lösbar weil die gleiche Anzahl von Spalten (7 Spalten) und Vektorkoordinaten [mm] (x_{1} [/mm] bis [mm] x_{7}) [/mm] existieren oder weil der Rang = [mm] Rang_{erw}. [/mm] Ist es eins von beiden, beides oder bin ich da ganz falsch?
Bei zweitens weiß ich nicht wie ich da rangehen soll. Ich weiß dass ich eine sogenannte Partikularlösung brauche und dazu ein x=0 setzen muss, so haben wir das in der Vorlesung gemacht, aber wenn ich zum Beispiel [mm] x_{6} [/mm] = 0 setze bekomm ich zwar [mm] x_{7} [/mm] = 2 raus, aber dann gehts nicht weiter. ich hab ja drei Gleichungen und aus der letzten ergibt sich [mm] x_{6} [/mm] und [mm] x_{7} [/mm] aber dann hab ich nur noch 2 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll.
Und bei 3. Hab ich jetzt ziemlich lange geknobelt aber da stimmt meine Lösung bestimmt nicht.
Ich habe erst zeile 1 und zeile 3 vertauscht, dann [mm] 2z_{2} [/mm] - [mm] z_{1}, [/mm] dann [mm] 2z_{3} [/mm] - [mm] z_{1} [/mm] und dann nochmal zeile 2 und zeile 3 getauscht dann komm ich auf
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 11 & 14 & 4 & 11 & 9 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -2 & 2 & 1 & 1}
[/mm]
aber das kann nicht stimmen ich kann doch da nicht nur 3 nullen haben. ich kann wahrscheinlich noch irgendwas umformen was ich nicht weiß.
Wäre ganz lieb wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Danke im Vorraus, Feroxa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 So 13.01.2008 | | Autor: | zahllos |
zu 1.) Das Argument mit dem Rang ist richtig, er ist für beide Matrizen gleich 3
zu 2) Die Koeffizientenmatrix hat schon Zeilenstufenform, d.h. Du brauchst nicht mehr umzuformen. Jede Unbekannte, die nicht an einer Stufenkante auftritt, ist frei wählbar. In diesem Fall kannst Du z.B. [mm] x_7 [/mm] frei wählen und bekommst aus der dritten Gleichung [mm] x_6 [/mm] = [mm] \frac{1}{3}(2-x_7)
[/mm]
In der zweiten Gleichung sind [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] frei wählbar, in der ersten [mm] x_1.
[/mm]
Du bekommst somit einen Lösungsvektor der Länge 7, bei dem 4 Komponenten beliebig sind und die anderen drei von diesen 4 abhängen.
zu 3) Hier mußt Du die Koeffizentenmatrix umformen. Ziehe z.B. von der zweiten Zeile die erste ab und dann von der dritten Zeile das doppelte der ersten. Anschließend ziehst Du in der neuen Matrix von der dritten Zeile wieder das doppelte der zweiten Zeile ab und die erhälst eine Matrix in Zeilenstufenform. Anschließend kannst Du wie bei Teil 2) vorgehen
(Achtung: diese Zeilenumformungen mußt Du mit der rechten Seite des Gleichungssystems ebenfalls durchführen!)
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