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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Kurvenintegral berechnen
Kurvenintegral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Sa 18.06.2016
Autor: mathenoob3000

Aufgabe
Bestimme die Werte, die das Integral

$  [mm] \int_C \frac{z^2}{(z-1)^3} [/mm] + [mm] \dfrac{z^2}{(z-2)^2} [/mm] + [mm] \dfrac{z^3}{(z-3)} [/mm] dz $
annimmet, wenn $ C $ alle geschlossenen Kurven aus $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{1,2,3\} [/mm] $ durchläuft.


Hi

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
Was genau bedeutet: 'wenn $ C $ alle geschlossenen Kurven aus  $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{1,2,3\} [/mm] $  durchläuft' ?

Welche Kurven muss ich denn betrachten? Ich meine
Die Kreise  um 1,2 und 3 mit jeweils den Radien: $ r < 1 $, $ r < 2$ , $ r < 3 $ und  $ r > 3 $

Oder liege ich da falsch?


lg

        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Sa 18.06.2016
Autor: fred97


> Bestimme die Werte, die das Integral
>
> [mm]\int_C \frac{z^2}{(z-1)^3} + \dfrac{z^2}{(z-2)^2} + \dfrac{z^3}{(z-3)} dz[/mm]
> annimmet, wenn [mm]C[/mm] alle geschlossenen Kurven aus [mm]\mathbb{C} \setminus \{1,2,3\}[/mm]
> durchläuft.
>  
> Hi
>  
> Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
>  Was genau bedeutet: 'wenn [mm]C[/mm] alle geschlossenen Kurven aus  
> [mm]\mathbb{C} \setminus \{1,2,3\}[/mm]  durchläuft' ?
>  
> Welche Kurven muss ich denn betrachten? Ich meine
>  Die Kreise  um 1,2 und 3 mit jeweils den Radien: [mm]r < 1 [/mm], [mm]r < 2[/mm]
> , [mm]r < 3[/mm] und  [mm]r > 3[/mm]
>  
> Oder liege ich da falsch?

ja, Ist C eine geschlossene  Kurve ,  die in [mm] \IC \setminus \{1,2,3\} [/mm] verläuft,
so sei I (C)  obiges Integral und ich nenne eine solche Kurve Fred - Kurve

Bestimmen sollst Du:

{ I(C): C ist eine Fred- Kurve }

fred


I

>  
>
> lg


Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Sa 18.06.2016
Autor: mathenoob3000

aber davon gibt es doch unendlich viele oder nicht?

z.B. $ [mm] \gamma_1(t) [/mm] = 1 + [mm] \dfrac{1}{2}e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi] [/mm] $

oder  $ [mm] \gamma_2(t) [/mm] = 10+ [mm] e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] $.

Eine Kurve die nicht in $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm] $ liegt wäre z.B.
[mm] $\gamma_3(t) [/mm] = 1 + [mm] 2e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm] $

Also muss ich doch irgendwelche Fallunterscheidungen machen, wenn Polstellen im Inneren des Kreises liegen oder ausserhalb um dann die cauchysche Integralformel zu benutzen?


lg


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Sa 18.06.2016
Autor: fred97


> aber davon gibt es doch unendlich viele oder nicht?

Ja

>  
> z.B. [mm]\gamma_1(t) = 1 + \dfrac{1}{2}e^{it}, t \in [0, 2\pi][/mm]

Ja

>  
> oder  [mm]\gamma_2(t) = 10+ e^{it}, t \in [0, 2 \pi] [/mm].

Ja

>  
> Eine Kurve die nicht in [mm]\mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}[/mm]
> liegt wäre z.B.
>  [mm]\gamma_3(t) = 1 + 2e^{it}, t \in [0,2 \pi][/mm]

Ja

>  
> Also muss ich doch irgendwelche Fallunterscheidungen
> machen, wenn Polstellen im Inneren des Kreises liegen oder
> ausserhalb um dann die cauchysche Integralformel zu
> benutzen?

.....   oder den Residuensatz....

FRED

>  
>
> lg
>  


Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Sa 18.06.2016
Autor: mathenoob3000

Den hatten wir noch nicht, aber ich werde ihn mir trotzdem mal anschauen.

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Sa 18.06.2016
Autor: fred97


> Den hatten wir noch nicht, aber ich werde ihn mir trotzdem
> mal anschauen.


Es geht auch ohne den Residuensatz

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Sa 18.06.2016
Autor: mathenoob3000

Kannst du mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?


lg

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 Mo 20.06.2016
Autor: fred97


> Kannst du mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?

https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/knoopa/p13.pdf

Satz 13.12

FRED

>  
>
> lg


Bezug
                                                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Mo 20.06.2016
Autor: mathenoob3000

ok ich bekomme 0 heraus, stimmt das?
Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mo 20.06.2016
Autor: fred97


> ok ich bekomme 0 heraus, stimmt das?

Nein.

Zeig Deine Rechnungen !

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 Mo 20.06.2016
Autor: mathenoob3000

Ok ich hab nochmal gerechnet und jetzt eine Fallunterscheidung gemacht:

1. Fall: $ 1,2,3 [mm] \notin [/mm] Int(C) $
Sei $ U := [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}$, [/mm] dann ist $ f: U [mm] \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ mit $ f(z) =  [mm] \frac{z^2}{(z-1)^3} [/mm] + [mm] \dfrac{z^2}{(z-2)^2} [/mm] + [mm] \dfrac{z^3}{(z-3)} [/mm] $ holomorph.
Ausserdem ist C ein nullhomologer Zyklus in $  [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm] $, also ist das obige Integral = 0.

2. Fall: $ 1,2,3 [mm] \in [/mm] Int(C) $
Sei $ f,g: [mm] \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ mit $f(z) := [mm] z^2, [/mm] g(z) := [mm] z^3 [/mm] $.
$ C $ ist ein nullhomologer Zyklus in $ [mm] \mathbb{C} [/mm] $ und dann gilt:

obiges Integral = $ [mm] \int_C \frac{f(z)}{(z-1)^3} [/mm] dz +  [mm] \int_C \frac{f(z)}{(z-2)^2} [/mm] dz +  [mm] \int_C \frac{g(z)}{(z-3)} [/mm] dz = [mm] \frac{2i \pi}{2!}f''(1)*n(C,1) [/mm] +  [mm] \frac{2i \pi}{1!}f'(2)*n(C,2) [/mm] + [mm] \frac{2i \pi}{0!}g(3)*n(C,3) [/mm] $
das kann man noch leicht vereinfachen, aber die Umlaufzahlen kenne ich ja nicht, das sind irgendwelche Zahlen aus $ [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] ?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Mo 20.06.2016
Autor: fred97


> Ok ich hab nochmal gerechnet und jetzt eine
> Fallunterscheidung gemacht:
>  
> 1. Fall: [mm]1,2,3 \notin Int(C)[/mm]
>  Sei [mm]U := \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}[/mm],
> dann ist [mm]f: U \rightarrow \mathbb{C}[/mm] mit [mm]f(z) = \frac{z^2}{(z-1)^3} + \dfrac{z^2}{(z-2)^2} + \dfrac{z^3}{(z-3)}[/mm]
> holomorph.
>  Ausserdem ist C ein nullhomologer Zyklus in [mm]\mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm],
> also ist das obige Integral = 0.

Das stimmt.


>  
> 2. Fall: [mm]1,2,3 \in Int(C)[/mm]
>  Sei [mm]f,g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> mit [mm]f(z) := z^2, g(z) := z^3 [/mm].
>  [mm]C[/mm] ist ein nullhomologer
> Zyklus in [mm]\mathbb{C}[/mm] und dann gilt:
>  
> obiges Integral = [mm]\int_C \frac{f(z)}{(z-1)^3} dz + \int_C \frac{f(z)}{(z-2)^2} dz + \int_C \frac{g(z)}{(z-3)} dz = \frac{2i \pi}{2!}f''(1)*n(C,1) + \frac{2i \pi}{1!}f'(2)*n(C,2) + \frac{2i \pi}{0!}g(3)*n(C,3)[/mm]
>  
> das kann man noch leicht vereinfachen, aber die
> Umlaufzahlen kenne ich ja nicht, das sind irgendwelche
> Zahlen aus [mm]\mathbb{Z}[/mm] ?

Ja

Es fahlen noch Fälle !

FRED

>  


Bezug
                                                                                                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mo 20.06.2016
Autor: mathenoob3000

Also die Fälle wenn 1 oder 2 oder 3 im Inneren des Zyklus ist. Und wenn 2 und 3 aber 1 nicht usw...?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Mo 20.06.2016
Autor: fred97


> Also die Fälle wenn 1 oder 2 oder 3 im Inneren des Zyklus
> ist. Und wenn 2 und 3 aber 1 nicht usw...?

Ja

FRED


Bezug
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