www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Aufgabe
Gegeben sei [mm] $\vec{\gamma} [/mm] :[0,2 [mm] \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \qquad [/mm] t [mm] \mapsto(1+\cos (t))\left(\begin{array}{c}{\sin (t)} \\ {\cos (t)}\end{array}\right)$ [/mm]

Berechnen Sie das Kurvenintegral der Normfunktion $f : [mm] \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ [/mm] entlang
der Kardioide.

Nutzen Sie dafür Sie [mm] $|\dot{\vec{\gamma}}(t)|=2\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|$ [/mm]

Hallo, ich habe ein Problem, denn ich weiß nicht wie ich hier arbeiten soll.

Es soll ja gelten:
[mm] $$\int_{\vec{\gamma}} [/mm] f [mm] \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)| \mathrm{d} [/mm] t$$

Nun setze ich ein und forme um

[mm] $$\int_{\vec{\gamma}} [/mm] f [mm] \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)| \mathrm{d} [/mm] t =
2 [mm] \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(sin^2(t)+cos^2(t)+cos^2(t)*sin^2(t)+cos^4(t)\right.}\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right| \mathrm{d} [/mm] t$$

Nun weiß ich nicht wie ich hier weiter machen soll, für [mm] $|cos(\frac{t}{2}|$ [/mm] könnte man das integral trennen 0 bis $pi$ und $pi$ bis $2pi$ ,aber das in der Wurzel macht mich fertig.

Ich könnte es natürlich umformen zu
$$
[mm] \sqrt{\left(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t)+\cos ^{2}(t) \cdot \sin ^{2}(t)+\cos ^{4}(t)\right.}= \sqrt{1+cos^2(t)} [/mm]
$$
aber das macht es nicht besser.

Ich fasst das mal kurz beides zusammen
wir hätten dann:

$$
2 [mm] \int_{0}^{\pi} \sqrt{1+cos^2(t)} \sin \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} [/mm] t-2 [mm] \int_{\pi}^{2 \pi} \sqrt{1+cos^2(t)} \sin \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} [/mm] t
$$


Ich hoffe man versteh mich?

LG
Susanne

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Mi 19.06.2019
Autor: fred97

Ich lasse die Pfeile mal weg. Du hast [mm] $f(\gamma(t))$ [/mm] falsch berechnet.

Es ist [mm] $f(\gamma(t))= ||\gamma(t)||=\sqrt{(1+ \cos(t))^2 \sin^2(t)+(1+ \cos(t))^2 \cos^2(t)}= \sqrt{(1+\cos(t))^2}=1+\cos(t)$. [/mm]

So, nun macht Dich keine Wurzel mehr fertig .

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
danke für die Antwort nun stehe ich allerdings vor einem weiteren Problem:(

Wir haben nun

$$
[mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] =  [mm] 2\int_{0}^{\pi}(1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} \mathrm{t}-2 \int_{\pi}^{2 \pi} (1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right)\mathrm{d} \mathrm{t} [/mm]
$$

Der Ausdruck $$
[mm] (1+\cos [/mm] (t)) [mm] \cos \left(\frac{t}{2}\right) [/mm]
$$ ist natürlich unschön zu integrieren kann man daran nicht etwas ändern? Ich hab erst an die Additionstheoreme gedacht, aber dadurch wird der Ausdruck auch nicht schöner, obwohl man dann den Bruch weg bekommt
Ich führe es einmal aus

$$
[mm] (1+\cos(t)) (cos^2-sin^2) [/mm]
$$

Aber der Ausdruck ist wie gesagt auch sehr unschön

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mi 19.06.2019
Autor: leduart

Hallo
ersetze [mm] cos(t)=cos^2(t/2)-sin^2(t/2)=2cos^2(t/2)-1 [/mm]
dann wir dein bestimmtes Integral leicht denn [mm] cos^3(t/2) [/mm] ist punktsymmetrisch zu [mm] \pi [/mm] also verschwindet das Integral darüber.
Gruß lul

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 19.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
ich stehe gerade etwas auf dem schlauch in wie weit meinst du das integral verschwindet darüber?

Meine nun berechnete Stammfunktion lautet $$
[mm] \frac{\sin \left(\frac{3 x}{2}\right)+9 \sin \left(\frac{x}{2}\right)}{3} [/mm]
$$

aber dies war jetzt nicht sehr leicht, denn man muss ein paar mal substituieren. Ich habe aber das Gefühl, dass du einen Weg meist, der einen großes Rechnen erspart? Ich bin immer offen für elegante Lösungen.

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 19.06.2019
Autor: leduart

Hallo
schreib doch mal, welche Funktion du nun integrieren willst.
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Do 20.06.2019
Autor: Susannchen

Ich möchte diese "Funktion" hier integrieren
$$
[mm] \cos^{3}(t/2) [/mm]
$$

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Do 20.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich möchte diese "Funktion" hier integrieren  [mm]\cos^{3}(t/2)[/mm]

da fehlt ja nun noch einiges.
Wie möchtest du intergrieren?
Einfach so, abschnittsweise, Intervall? Ein bisschen konkreter darf es schon sein.

Du möchtest nämlich nicht nur irgendwie integrieren, sondern konkret:
Du möchtest die Funktion [mm]\cos^{3}(t/2)[/mm] einmal integrieren über [mm] $[0,\pi]$ [/mm] und einmal über [mm] $[\pi,2\pi]$ [/mm]

Jetzt []schau dir mal den Graphen der Funktion an, dann siehst du (wie leduard erwähnt hat), dass die Funktion Punktsymmetrisch zu [mm] $\pi$ [/mm] ist mit [mm] $\cos^{3}(\pi/2) [/mm] = 0$, daraus folgt dann eben:

[mm] $\int_0^\pi \cos^{3}(t/2) [/mm] dt = [mm] -\int_\pi^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt

Oder:

$0 = [mm] \int_0^\pi \cos^{3}(t/2) [/mm] dt + [mm] \int_\pi^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt  = [mm] \int_0^{2\pi} \cos^{3}(t/2) [/mm] dt$

Noch eine Anmerkung zu deinen Umformungen:

> $ [mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] $ =  $ [mm] 2\int_{0}^{\pi}(1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} \mathrm{t}-2 \int_{\pi}^{2 \pi} (1+\cos (t))\cos \left(\frac{t}{2}\right)\mathrm{d} \mathrm{t} [/mm] $

Die letzte Gleichung stimmt doch gar nicht.
Es ist doch [mm] $\cos(t/2) \ge [/mm] 0$ auf dem gesamten Integrationsgebiet und damit:

$ [mm] \int_{\vec{\gamma}} \mathbf{f} \mathrm{d} s=\int_{0}^{2 \pi} f(\vec{\gamma}(t))|\dot{\vec{\gamma}}(t)|dt= \int_{0}^{2 \pi} (1+\cos (t))\left|\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right|dt [/mm] = 2 [mm] \int_0^{2\pi} \cos^3(\frac{t}{2}) [/mm] dt = 0$

Bezug
                                                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 20.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
$ [mm] \cos(t/2) \ge [/mm] 0 $ kann das stimmen? Denn für [mm] $t=2\pi$ [/mm] ist der Cosinus negativ

Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvenintegral: Der Betrag fehlt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 21.06.2019
Autor: Infinit

Hallo Susanne,
natürlich hast Du mit Deinem Kommentar recht und die Verwirrung ist  wohl der Tatsache geschuldet, dass Gonozal in seiner Antwort die Betragsstriche vergessen hat, denn die gehören nun mal dazu. Dann stimmt die Aussage und die Argumentation, die bereits weiter oben angebracht wurde, ist auch verständlich.
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                                                                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Fr 21.06.2019
Autor: Susannchen

Hallo,
ich habe leider immer noch nicht verstanden warum [mm] $\cos(t/2) \ge [/mm] 0 $ auf [mm] $t\in [0,2\pi]$ [/mm] gelten soll.

Ein Gegenbeispiel wäre doch $cos(2pi/2)=cos(pi)=-1$?

LG
Susanne

Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:17 Fr 21.06.2019
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich habe leider immer noch nicht verstanden warum
> [mm]\cos(t/2) \ge 0[/mm] auf [mm]t\in [0,2\pi][/mm] gelten soll.

Das gilt ja auch nicht !

Wir haben

[mm]\cos(t/2) \ge 0[/mm] für  [mm]t\in [0,\pi][/mm]

und

[mm]\cos(t/2) \le 0[/mm] für  [mm]t\in [ \pi,2\pi][/mm]


>  
> Ein Gegenbeispiel wäre doch [mm]cos(2pi/2)=cos(pi)=-1[/mm]?
>  
> LG
>  Susanne


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de