Kurvendiskussion lnx/x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] f(x)=\bruch{lnx}{x}
[/mm]
a) Man bestimmt die Monotonieintervalle von f
b) Man bestimme [mm] sup_{x>0}. [/mm] Wird das Supremum angenommen?
c) In welchen Bereichen ist f konvex bzw. konkav? Geben Sie die Wendepunkte von f an. |
Ich rechne das jetzt mal nach besten Wissen und Gewissen:
Ich bilde also erstmal die 3 Ableitungen:
[mm] f'(x)=\bruch{1-lnx}{x^2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{6-12lnx}{x^3}
[/mm]
a) für die Monotonieintervalle gilt: f'(x)>0-> monoton wachsend und f'(x)<0
Ich guck mir daher die Extrempunkte an:
[mm] f'(x)=0=\bruch{1-lnx}{x^2} \Rightarrow [/mm] 1=lnx [mm] \Rightarrow x=e^1
[/mm]
[mm] f''(e^1)=\bruch{-5}{e^3}<0 [/mm] -> Maximum bei [mm] e^1
[/mm]
jetzt guck ich mir ne willkürliche zahl aus dem Intervall drüber und drunter aus und guck ob die größer oder kleiner sind:
f'(1)=1>0 -> in [mm] (0,e^1) [/mm] ist die Funktion monoton steigend
f'(3)=(3-ln3)/9<0 -> in [mm] (e^1,\infty) [/mm] ist die Funktion monoton fallend
b) hab ich ad hoc erstmal keinen einfall, vllt den grenzwert gegen unendlich bilden?
c) Wendepunkt:
[mm] f''(x)=\bruch{-2-3lnx}{x^3}=0 \Rightarrow [/mm] -2/3=lnx [mm] \Rightarrow x=e^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] f'''(e^{-\bruch{2}{3}})\not=0 [/mm] -> Wendepunkt bei [mm] e^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
bei konvex ist f''(x)>0, konkav f''(x)<0
teste ich also wieder einfach mal
f''(0,5)>0 -> in [mm] (0,e^{-\bruch{2}{3}}) [/mm] ist die Kurve konvex
f''(1)<0 -> in [mm] (e^{-\bruch{2}{3}}, \infty) [/mm] ist die Kurve konkav
Meinungen?
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ich steh auf diese stückweise *thumbs up* bewertungen
[mm] f''(x)=\bruch{-3+2lnx}{x^3}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{11-6lnx}{x^4}
[/mm]
Prüfe ob Maximum oder Minimum:
[mm] f''(e^1)<0 [/mm] -> Maximum bei [mm] e^1
[/mm]
Wendepunkte:
[mm] f'''(x)=\bruch{-3+2lnx}{x^3}=0 \Rightarrow lnx=\bruch{3}{2} [/mm] ; [mm] x=e^{\bruch{3}{2}} [/mm]
[mm] f'''(e^{\bruch{3}{2}}) \not= [/mm] 0 -> Wendepunkt bei [mm] (e^{\bruch{3}{2}} [/mm] , [mm] f(e^{\bruch{3}{2}}))
[/mm]
Für die Konvexität suche ich mir 2 beliebige Werte aus den Intervallen:
[mm] f''(e^1)<0 [/mm] -> ist von [mm] (0,e^{\bruch{3}{2}} [/mm] ) konkav
[mm] f''(e^2)>0 [/mm] -> ist von [mm] (e^{\bruch{3}{2}} [/mm] , [mm] \infty) [/mm] konvex
b)
bleibt das Supremum.
der Maximal erreichte Wert ist [mm] f(Maximum)=f(e^1)=e^{-1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{lnx}{x})=\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0
verstehe ich jetzt nicht ganz. das Supremum sollte doch der maximale Wert sein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Di 07.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Monotonie:
links vom Max steigt eine fkt immer, rechts fällt sie, da muss man keine Punkte mehr einsetzen!
2. konvex-konkav beim max ist ein graph immer konvex bis zum nächsten Wendepunkt, der hier rechts vom max ist also konvex links vom Wdpkt, konkav danach.
Dass du x gegen [mm] \infty [/mm] noch untersuchen musst ist nicht unbedingt nötig, da du kein Min hast ist klar, dass die fkt ihren höchsten Wert also sup beim Max hat.Aber prinzipiell muss man immer die Ränder des Definitionsgebietes noch ansehen, ob da die fkt größer ist als im relativen Max. oder begründen wie ich hier, dass das nicht sein kann.
Gruss leduart
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Nochmal zur sup-betrachtung: wenn bei meiner Grenzwertberechnung ein kleinerer Wert als das Maximum rauskommt, ist das Sup das Maximum (und wird demnach auch erreicht). Wenn ich einen höheren Grenzwert habe, ist dieser das Sup und der Wert wird nicht erreicht, kann man das so sagen?
Zu dieser Untersuchung würde also jetzt noch der Grenzwert Richtung 0 kommen, um die Betrachtungen (ohne logische Begründungen wie du sie gemacht hast) zum Sup zu beenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo celeste!
Das hast Du richtig erkannt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Di 07.12.2010 | | Autor: | celeste16 |
das ist ja eigentlich alles ganz einfach (wenn man in der lage ist die richtigen ableitungen zu bilden^^). danke für eure hilfe!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Im Zähler habe ich etwas anderes.
