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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=a*x²+b+c/x²
Wie muss b von a und c abhängen, damit ein Extrempunkt auch gleichzeitig eine Nullstelle ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dieser Frage muss ich mir a b und c ausrechnen und da alle 3 unbekannt sind brauche ich drei Gleichungen um diese Variablen ausrechnen zu können.
erste Gleichung denke ich ist die erste Ableitung null gesetzt
doch ich brauche noch zwei weitere, und ich weiß einfach nicht welche ich hier noch verwenden darf?
Danke für Ihre Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 28.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Erstmal musst du ableiten und die Ableitung 0 setzen. Dann nach x umstellen, und du hast die x-Koordinate der Extremstellen. Ich nenne mal eine davon b.
Dann muss f(b)=0 gelten! Also wenn du eine Extremstelle dort in deine Anfagsfunktion einsetzt, soll ja 0 rauskommen.
Mehr kannst du eigentlich nicht angeben, du hast 3 Variablen aber nur 2 Bedingungen. Aber du kannst dann nach b umstellen.
[mm] (b=-2*\wurzel{a}*\wurzel{c})
[/mm]
Damit häng b von a und c ab, wie verlangt.
PS: Es ist egal, welchen Extremwert du nimmst. Denn da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt f(b)=f(-b) (b war der x-Wert vom Extrempunkt).
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| Aufgabe | 1.) Wie sind die Parameter a,b und c zu wählen, damit die Kurve f(x) die Nullstelle x0=4 hat, durch den Punkt P(-5/-25,92) geht und im Punkt Q (2,5/....) eine zur Geraden g(x)=5-8,856x parallele Tangente hat?
2.) Ermitteln Sie das Bildungsgesetz der Tangente t(x) an die Kurve in der Nullstelle x0=4. Unter welchem Winkel schneiden einander die Tangente und die Gerade g(x)?
3.) Wie lautet das Bildungsgesetz einer quadratischen Parabel p(x), welche die Kurve in den äußersten Nullstellen berührt?
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Ok, danke für diese erste Antwort jetzt kann ich diesen Punkt wenigstens schon mal abhacken.
Bei diesem nächsten aufgabe muss ich mir die Parameter ausrechnen doch ich weiß nicht wie ich anfangen soll?
Noch dazu habe ich keine Ahnung was man unter Bildungsgesetz der Tangente oder Bildungsgesetz einer quadratischen Parabel versteht?
Könntest du mir bitte auch hier einige Tipps für den Lösungsweg geben?
Danke für deine Hilfe
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[mm] \text{Hi,}
[/mm]
> 1.) Wie sind die Parameter a,b und c zu wählen, damit die
> Kurve f(x) die Nullstelle x0=4 hat, durch den Punkt
> P(-5/-25,92) geht und im Punkt Q (2,5/....) eine zur
> Geraden g(x)=5-8,856x parallele Tangente hat?
>
[mm] \text{Du hast eine Gleichung mit drei unbekannten Variablen. Das heißt, dass du drei Gleichungen aufstellen musst, um die}
[/mm]
[mm] \text{Funktionsgleichung eindeutig bestimmen zu können. Was sagt es aus über eine Funktionsgleichung, wenn ein Punkt}
[/mm]
[mm] \text{auf einem Graphen einer Funktion liegt? Was hat die erste Ableitung mit der Steigung einer Tangente zu tun? Was ha-}
[/mm]
[mm] \text{ben Nullstellen für eine Eigenschaft?}
[/mm]
[mm] \text{Das sind die Fragen, die du dir hier jetzt stellen musst.}
[/mm]
> 2.) Ermitteln Sie das Bildungsgesetz der Tangente t(x) an
> die Kurve in der Nullstelle x0=4. Unter welchem Winkel
> schneiden einander die Tangente und die Gerade g(x)?
>
[mm] \text{Unter Bildungsgesetz könnte ich mir vorstellen, dass du sagen sollst, was für Sachen du bestimmen musst, um eine Tan-}
[/mm]
[mm] \text{gente eindeutig bestimmen zu könnten. Was gehört alles zu einer Tangente, sprich: zu einer linearen Funktion?}
[/mm]
> 3.) Wie lautet das Bildungsgesetz einer quadratischen
> Parabel p(x), welche die Kurve in den äußersten Nullstellen
> berührt?
>
[mm] \text{Erst einmal musst du hinbekommen, die Gleichung der Kurve zu bestimmen. ;)}
[/mm]
> Ok, danke für diese erste Antwort jetzt kann ich diesen
> Punkt wenigstens schon mal abhacken.
>
> Bei diesem nächsten aufgabe muss ich mir die Parameter
> ausrechnen doch ich weiß nicht wie ich anfangen soll?
>
> Noch dazu habe ich keine Ahnung was man unter
> Bildungsgesetz der Tangente oder Bildungsgesetz einer
> quadratischen Parabel versteht?
>
> Könntest du mir bitte auch hier einige Tipps für den
> Lösungsweg geben?
>
> Danke für deine Hilfe
[mm] \text{Gruß, Stefan.}
[/mm]
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Ich muss mir jetzt noch die Nullstellen der Funktion ausrechen!
Ich komme jetzt auf einen Ausdruck : -3x²+51-48/x²=0
Ich weiß das die Nullstellen bei 1, -1, 4 und -4 liegen, doch weiß leider nicht wie ich diesen angegeben Ausdruck umformen muss damit ich diese Werte bekomme!
Bitte um genaue Hilfe!
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Am Sinnvollsten ist es, die Gleichung mit x² zu Multiplizieren.
Also:
[mm] -3x²+51-\bruch{48}{x²}=0
[/mm]
[mm] =3x^{4}+51x²-48=0
[/mm]
Jetzt substituiere mal z=x²
Dann steht da
3z²+51z-48=0
[mm] \gdw [/mm] z²-17z+16=0
[mm] \gdw z_{1;2}=\bruch{17}{2}\pm\wurzel{\bruch{289}{4}-16}
[/mm]
[mm] \gdw z_{1;2}=\bruch{17\pm\wurzel{225}}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_{1}=\bruch{17+15}{2}=16
[/mm]
und [mm] z_{2}=z_{1}=\bruch{17-15}{2}=1
[/mm]
Wenn du jetz Rücksubstituierst, erhältst du:
[mm] x_{1;2}=\pm\wurzel{z_{1}}
[/mm]
und [mm] x_{3;4}=\pm\wurzel{z_{2}}
[/mm]
Also hier:
[mm] x_{1}=-4, x_{2}=4, x_{3}=-1, x_{4}=1 [/mm] , und das sind genau deine Werte.
Marius
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Danke einmal für die Nullstellen, hier ist mir jetzt alles klar
jetzt habe ich noch ein Problem mit den Extremstellen:
die Notwendige Bedingung ist mir klar xe1=2 und xe2=-2
doch bei der Hinreichenden sollte eigentlich 26 oder 27 für einen Hochpunkt laut Grafik herauskommen doch ich bekomme -24 und das wäre ein Tiefpunkt.
Die zweite Ableitung lautet 2a+6c / [mm] x^4
[/mm]
diese soll jetzt größer oder kleiner 0 sein
a=-3
c=-48
Wo könnte mir da in der Rechnung dieser Vorzeichenfehler passiert sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:00 Do 30.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du in die Funktion [mm] f''(x)=2a+\bruch{6c}{x^{4}}
[/mm]
die Werte a=-3 und c=-48 einsetzt, erhältst du:
[mm] f''(x)=-6-\bruch{288}{x^{4}}
[/mm]
und damit f''(-2)=-24 und das heisst, da die Ableitung an der Stelle [mm] x_{e}=-2 [/mm] ein Hochpunkt.
Es gilt:
Ist [mm] f''(x_{e})\red{<}0, [/mm] so ist [mm] H(x_{e}/f(x_{e})) [/mm] ein Hochpunkt.
Und: Ist [mm] f''(x_{e})\green{>}0, [/mm] so ist [mm] T(x_{e}/f(x_{e})) [/mm] ein Tiefpunkt.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Di 28.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hmm, dass scheint mir dieselbe Frage zu sein, die ich dir hier beantwortet habe.
Marius
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Irgendwie komme ich leider nicht auf diese Formel: [mm] b=-2*\wurzel{a}*\wurzel{c}
[/mm]
die du mir hier als Ergebniss geliefert hast.
Wenn ich die erste Ableitung gleich 0 setze ergibt das für mich x1,2 [mm] =4te\wurzel{c/a}
[/mm]
Vielleicht kann mir hier nochmals einer helfen wie ich eben diese Frage jetzt genau beantworten muss
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Di 28.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Irgendwie komme ich leider nicht auf diese Formel:
> [mm]b=-2*\wurzel{a}*\wurzel{c}[/mm]
>
> die du mir hier als Ergebniss geliefert hast.
>
> Wenn ich die erste Ableitung gleich 0 setze ergibt das für
> mich x1,2 [mm]=4te\wurzel{c/a}[/mm]
Das ist voellig richtig!
das x1 musst du jetzt in f(x) einsetzen, und dann muss f(x1)=0 sein. Dann erst kriegst du Teufels Ergebnis!
Fuer die anderen Aufgaben guck doch mal in die Mathebank unter "steckbriefaufgaben"
Gruss leduart
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