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Kurvendiskussion: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 Fr 02.05.2014
Autor: Kruemel1008

Aufgabe
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D(f) von f in [mm] \IR, [/mm] die Grenzwerte bzw. einseitigen Grenzwerte für x [mm] \to [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] ( [mm] \IR \cup [/mm] { [mm] \infty, -\infty [/mm] } \ D(f). Untersuchen Sie f auf Monotonie. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse und mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Graphen von f, ohne weitere Funktionswerte auszurechnen und ohne ein Computerprogramm zu benutzen.

f(x)=  [mm] \bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})|x|} [/mm]

Hinweis: [mm] f(x)=a+\bruch{b}{x+c} [/mm] für x [mm] \in [/mm] d(f) mit Konstanten y,b,c [mm] \in \IR [/mm]
              [mm] f(x)=a+\bruch{b}{x^{2}+c} [/mm] für x [mm] \in [/mm] d(f) mit Konstanten y,b,c [mm] \in \IR [/mm]

Ich muss die Funktion ja irgendwie mit Hilfe des Hinweises umformen, ich habe aber keine Ahnung wie ich das anzustellen habe, ich habe bisher nur:

f(x) = [mm] \bruch{2x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)|x|} [/mm]

D(f) = [mm] \IR [/mm] \ { 2, -2, 0 }

Beim limes hab ich keine Ahnung

Schnittpunkt mit x-Achse:
f(x)=0
2x(x-1)(x+1)=0
[mm] (2x^{2}-2x)(x+1)=0 [/mm]
[mm] 2x^{3}+2x^{2}-2x^{2}-2x=0 [/mm]
[mm] 2x^{3}-2x=0 [/mm]
[mm] x(2x^{2}-2)=0 [/mm]
x=1    x=-1     x=0

Schnittpunkt mit y-Achse:
x=0  [mm] \Rightarrow [/mm]  f(0)= [mm] \bruch{0}{0} \Rightarrow [/mm] kein Schnittpunkt

Monotonie:
Da ich die Funktion nicht umgestellt bekomme habe ich auch hier leider keinen Ansatz.

Und bei dem was ich habe bin ich mir auch nicht sicher.

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Fr 02.05.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

ich will hier nicht gleich alles irgendwie abarbeiten. Sondern lass uns lieber mal Schritt für Schritt die Sache bearbeiten. Ich denke so kommen wir eher ans Ziel.

> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D(f) von f
> in [mm] \IR [/mm] die Grenzwerte bzw. einseitigen Grenzwerte für [mm] x\to{a} [/mm] für alle [mm] a\in\IR\cup\{\infty,-\infty\}\setminus{D(f)}. [/mm]

> Untersuchen Sie f auf Monotonie. Bestimmen Sie die
> Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse und mit der
> y-Achse. Skizzieren Sie den Graphen von f, ohne weitere
> Funktionswerte auszurechnen und ohne ein Computerprogramm
> zu benutzen.
>  
> [mm] f(x)=\bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})|x|} [/mm]


>  
> [mm] D(f)=\IR\setminus\{2,-2,0\} [/mm]

Stimmt!

>  
> Beim limes hab ich keine Ahnung

Gut, dann berachten wir erst einmal den Grenzwert [mm] x\to+\infty. [/mm]

Was passiert denn erst einmal mit |x| wenn x>0? Ja, Für x>0 ist natürlich |x| einfach nur x selbst. Von daher können wir die Grenzwertbetrachtung reudzieren auf:

   [mm] f(x)=\frac{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})x}=\frac{2(-1+x^{2})}{(-4+x^{2})}=2\frac{\frac{-1}{x^2}+1}{\frac{-4}{x^2}+1} [/mm]


Kannst du jetzt [mm] \lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] bilden?

Was ändert sich denn, wenn du [mm] y\to-\infty [/mm] betrachtest?

Klären wir das erst einmal. Dann schauen wir weiter, ok?

>  
> Schnittpunkt mit x-Achse:
>  f(x)=0
>  2x(x-1)(x+1)=0
>  [mm](2x^{2}-2x)(x+1)=0[/mm]
>  [mm]2x^{3}+2x^{2}-2x^{2}-2x=0[/mm]
>  [mm]2x^{3}-2x=0[/mm]
>  [mm]x(2x^{2}-2)=0[/mm]
>  x=1    x=-1     x=0

Das ist soweit korrekt, ABER: [mm] x\notin{D(f)}, [/mm] also für x=0 ist ja deine Funktion gar nicht definiert.

>  
> Schnittpunkt mit y-Achse:
>  x=0  [mm]\Rightarrow[/mm]  f(0)= [mm]\bruch{0}{0} \Rightarrow[/mm] kein
> Schnittpunkt

Auch das ist klar, denn wie gesagt: x=0 ist gar nicht definiert.

>  
> Monotonie:
>  Da ich die Funktion nicht umgestellt bekomme habe ich auch
> hier leider keinen Ansatz.
>  
> Und bei dem was ich habe bin ich mir auch nicht sicher.


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Sa 03.05.2014
Autor: Kruemel1008

Dann habe ich beim limes also:
x>0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})x} [/mm] = 2
x<0
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{-(-4+x^{2})x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})}{(4-x^{2})} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} 2*\bruch{\bruch{-1}{x^{2}}+1}{\bruch{4}{x^{2}}-1} [/mm] = -2

Passt das so? ... Da fehlt aber bestimmt noch was zum limes oder?

Ansonsten fehlt mit dann ja nur noch die Monotonie, der Rest war ja richtig ...

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Ableitung betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Sa 03.05.2014
Autor: Loddar

Hallo Krümel!


> x>0
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{(-4+x^{2})x}[/mm] = 2

[ok]


> x<0
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})x}{-(-4+x^{2})x}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} \bruch{2(-1+x^{2})}{(4-x^{2})}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty} 2*\bruch{\bruch{-1}{x^{2}}+1}{\bruch{4}{x^{2}}-1}[/mm] = -2

[ok]

> Da fehlt aber bestimmt noch was zum limes, oder?

Nö.


> Ansonsten fehlt mit dann ja nur noch die Monotonie,

Bilde die Ableitung $f'(x)_$ und untersuche.
Dafür ist evtl. wieder eine Fallunterscheidung für positive bzw. negative $x_$ notwendig.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 Sa 03.05.2014
Autor: Kruemel1008

Muss ich bei den limes nicht noch irgendwas gegen meine Definitionslücke (2,-2.0) laufen lassen ? ... Oder nicht?

Und bei der Monotonie soll ich das nicht mit der Ableitung machen ( tut mir leid das nicht erwähnt zu haben ) sondern ich soll die Funktion mit Hilfe des Tipps aus der Aufgebenstellung umwandeln ( was ich nicht hinbekomme ) und dann nach dem Schema f(x)<f(y) auflösen ... ?

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Sa 03.05.2014
Autor: leduart

Hallo
füge im Zähler +4-4 zu
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:54 So 04.05.2014
Autor: Kruemel1008

Irgendwie bekomme ich das nicht hin, ich habe dann doch im Zähler [mm] 2(x^{2}-1+4-4)x [/mm] stehen, wie verfahre ich denn dann weiter, ich weis echt nicht wie ich das zusammenfassen soll?

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Bezug
Kurvendiskussion: erste Schritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 04.05.2014
Autor: Loddar

Hallo Krümel!


Es gilt:  [mm]f(x) \ = \  \bruch{2*\left(-1+x^{2}\right)*x}{\left(-4+x^{2}\right)*|x|} \ = \ 2*\bruch{x}{|x|}*\bruch{x^2-1}{x^2-4}[/mm]

Ich betrachte jetzt nur mal den letzten Bruchterm. Der Rest ist (in Abhängigkeit vom Vorzeichen von [mm]x_[/mm] ) ein konstanter Faktor.

[mm]\bruch{x^2-1}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2 \ \red{-4+4}-1}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2-4+3}{x^2-4} \ = \ \bruch{x^2-4}{x^2-4}+\bruch{3}{x^2-4} \ = \ ...[/mm]


Gruß
Loddar

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