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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Fr 22.02.2013 | | Autor: | mooo1 |
| Aufgabe | Zum Beweis der Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome. Ein Hilfslemma:
Sei [mm] [mm] \Phi_n [/mm] = gh eine Zerlegung mit g,h [mm] \in \IZ [/mm] und seien g,h normiert. Sei weiter g irreduzibel und t = [mm] t_n^{1} \in \IC [/mm] eine Nullstelle von g und p eine Primzahl mit p [mm] \nmid [/mm] n. Dann ist [mm] t^p [/mm] auch eine Nullstelle von g.
Beweis: Angenommen es gilt [mm] g(t^p) \ne [/mm] 0. Dann muss [mm] h(t^p)=0 [/mm] gelten. Also ist t eine Nullstelle von [mm] h(x^p) \in \IZ[x]. [/mm] Da g irreduzibel ist und ebenfalls t als Nullstelle hat, folgt also g [mm] \mid h(x^p) [/mm] in [mm] \IZ[x]. [/mm] |
Folgendes:
Ich sitze seit Woooochen an meinem Seminar 2 Vortrag über Kreisteilungspolynome und wow, zwischen durch hat es mir sogar Spaß gemacht. Heute war ich nochmal bei meinem Prof zur Vorbesprechung, ich ganz stolz mit meinem Skript, aber er hat überall dran rumkritisiert (Ich weiß das tut nichts zur Sache, aber das ist frustriiiierend, vorallem weil ich echt viel Zeit investiert habe)
Jedenfalls findet er, dass man genau oben zitierte Aussage (hier aus Modler, Kreh Tutorium Algebra, aber auch zu finden bei z.B. Bosch, Fischer) so nicht einfach hinschreiben kann. Ich glaube er hat was gesagt von [mm]\IZ [/mm] kein Körper, aber Minimalpolynome sind ja über einem Körper definiert und woher will ich wissen, dass es nicht einen Rest r(x) gibt? also [mm] h(x^p)=f(x)g(x) + r(x) [/mm]. Ich habe noch nirgends gesehen, dass gezeigt werden muss/ bzw. wurde...
Wir wissen nur Grad r(x) ist kleiner Grad g(x). Ich hab halt gedacht, dass da g(t) = 0 und irreduzibel es eben kein r(t) = 0 geben kann, dass kleineren Grad hat außer r(x)= 0 ?
Als Beispiel hat er mir gegeben[mm] (x-1)(x^2+1) +(2x+1) = h(x^p) [/mm]
Ich weiß jetzt leider nur überhaupt nicht wo ich ansetzen soll?
Ich würde gerne einfach den Beweis in[mm] \IQ[x] [/mm]aufschreiben, aber ich muss ja später modulo p reduzieren und daher brauche ich ganzzahlige Koeffizienten.
Ich verstehe glaub ich, warum es seiner Meinung nach generell nicht über [mm]\IZ[x] [/mm]gehen soll, denn [mm]\IZ [/mm]ist kein Körper, oder?
Hat jemand eine Idee was ich jetzt tun könnte? :D Und warum setzt jeder Mathematiker, der zumindest Lehrbücher schreibt vorraus, dass das so geht, aber mein Prof sieht das als Problem? Dann müsste es ja ganz offentsichtlich sein? Kann man vllt sagen, dass g(x) eigentlich [mm]\IQ [x][/mm] und
aber [mm]\IZ[x] [/mm].
Ah. Ich hab hier gerade noch einen Zusatz zum Irreduzibilitätssatz bei Fischer gefunden, der besagt:
Sei[mm] f \in R[x] [/mm]normiert und[mm] f=g*h mit g,h \in K[x].[/mm] Ist g normiert, so folgt [mm] g,h \in R[x] [/mm]
Dann wäre ja f mein Kreisteilungspolynom und das ist, wie ich bereits gezeigt habe Element Z[x]. Dann definiere ich g(x) als irreduzibles normiertes Polynom über Q[x] und h(x) ebenfalls über Q[x]. Wegen diesem Satz folgt dann, dass beide Polynome g und h auch in Z[x] liegen, womit ich später die Reduktion durchführen kann?
Es ist doch aber auch definitiv so, dass wenn g Minimalpolynom ist, es definitiv keine Zerlegung in h= g(x)k(x) + r(x) gibt oder?
Also es gibt dann definitiv keinen Rest?
Oh man, ich bin verwirrt worden heute morgen. Sorry :D Ich hoffe jemand versteht meine konfusen Gedanken!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 25.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zum Beweis der Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome.
> Ein Hilfslemma:
> Sei [mm][mm]\Phi_n[/mm] = gh eine Zerlegung mit g,h [mm]\in \IZ[/mm] und seien g,h
Du meinst $g, h [mm] \in \IZ[x]$, [/mm] oder?
> normiert. Sei weiter g irreduzibel und t = [mm]t_n^{1} \in \IC[/mm] eine Nullstelle von g
> und p eine Primzahl mit p [mm]\nmid[/mm] n. Dann ist [mm]t^p[/mm] auch eine Nullstelle
> von g.
Was ist [mm] $t_n$? [/mm] Etwa [mm] $\exp\frac{2\pi i}{n}$? [/mm] Oder einfach irgendeine Nullstelle von $g$?
> Beweis: Angenommen es gilt [mm]g(t^p) \ne[/mm] 0. Dann muss [mm]h(t^p)=0[/mm]
> gelten. Also ist t eine Nullstelle von [mm]h(x^p) \in \IZ[x].[/mm] Da g irreduzibel ist und
> ebenfalls t als Nullstelle hat, folgt also g [mm]\mid h(x^p)[/mm] in [mm]\IZ[x].[/mm]
Wie dein Prof angemerkt hat, gilt das erstmal in [mm] $\IQ[x]$. [/mm] Jetzt musst du dich fragen: gilt es auch in [mm] $\IZ[x]$?
[/mm]
> Jedenfalls findet er, dass man genau oben zitierte Aussage (hier aus Modler, Kreh Tutorium
> Algebra, aber auch zu finden bei z.B. Bosch, Fischer) so nicht einfach hinschreiben kann.
Welche Aussage genau meinst du? Die mit der Teilbarkeit des Minimalpolynoms? Oder die bzgl. der Kreisteilungspolynome?
> Ich glaube er hat was gesagt von [mm]\IZ[/mm] kein Körper, aber Minimalpolynome sind
> ja über einem Körper definiert und woher will ich wissen, dass es nicht einen Rest r(x) gibt?
> also [mm]h(x^p)=f(x)g(x) + r(x) [/mm]. Ich habe noch nirgends gesehen, dass gezeigt
> werden muss/ bzw. wurde...
Warum kannst du hier ueberhaupt Division mit Rest machen? Das geht in einem Ring i.A. nur, wenn der Leitkoeffizient vom Dividend eine Einheit im Ring ist.
> Wir wissen nur Grad r(x) ist kleiner Grad g(x). Ich hab halt gedacht, dass da g(t) = 0 und
> irreduzibel es eben kein r(t) = 0 geben kann, dass kleineren Grad hat außer r(x)= 0 ?
Das geht so, wenn du in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] argumentierst. Es macht auch keinen Unterschied, dass die Polynome selber aus [mm] $\IZ[x]$ [/mm] stammen.
Du musst argumentieren:
a) dass Division mit Rest hier funktioniert (in [mm] $\IZ[x]$)
[/mm]
b) und dann das Argument in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] anwenden, um $r = 0$ (in [mm] $\IZ[x]$) [/mm] zu bekommen.
> Ich verstehe glaub ich, warum es seiner Meinung nach generell nicht über [mm]\IZ[x] [/mm]
> gehen soll, denn [mm]\IZ [/mm]ist kein Körper, oder?
Nun, Minimalpolynom macht halt (erstmal) nur ueber Koerpern Sinn. Und du bist hier ueber einem Ring. Du musst halt den Quotientenkoerper vom Ring geschickt einsetzen (wie ich das oben erlaeutert hatte), um die Aussage ebenfalls fuer den Ring zu bekommen.
> Hat jemand eine Idee was ich jetzt tun könnte? :D Und warum setzt jeder Mathematiker,
> der zumindest Lehrbücher schreibt vorraus, dass das so geht, aber mein Prof sieht das als
> Problem?
Du verwechelst da was bzw. verstehst etwas nicht, was die Mathematiker, die die Buecher geschrieben haben, durchaus verstanden haben :)
> Ah. Ich hab hier gerade noch einen Zusatz zum Irreduzibilitätssatz bei Fischer gefunden, der
> besagt: Sei[mm] f \in R[x] [/mm]normiert und[mm] f=g*h mit g,h \in K[x].[/mm] Ist g
> normiert, so folgt [mm]g,h \in R[x][/mm]
Da stehen sicher noch Voraussetzungen, die der Ring $R$ erfuellen muss, oder?
> Dann wäre ja f mein Kreisteilungspolynom und das ist, wie ich bereits gezeigt habe Element Z[x].
> Dann definiere ich g(x) als irreduzibles normiertes Polynom über Q[x]
Wieso kannst du es so "definieren"? Was willst du damit sagen?
> und h(x) ebenfalls über Q[x]. Wegen diesem Satz folgt dann, dass beide Polynome g und h
> auch in Z[x] liegen, womit ich später die Reduktion durchführen kann?
Im Prinzip ist der Satz dafuer super geeignet. Aber du musst ihn richtig anwenden. Du hast ja $g$ und $h$ schon gegeben und darfst sie nicht "irgendwie waehlen". Du musst jetzt mit diesen beiden weitermachen. Was kannst du ueber die Leitkoeffizienten von $g$ und $h$ aussagen? Im Vergleich zum Leitkoeffizienten von [mm] $\Phi_n$ [/mm] (welchen hat es)?
> Es ist doch aber auch definitiv so, dass wenn g Minimalpolynom ist, es definitiv keine
> Zerlegung in h= g(x)k(x) + r(x) gibt oder?
Es kann ja $r(x) = 0$ sein 
Du musst schon sagen, was du genau meinst. Das ist eins der wichtigsten Dinge, die man beim Mathematikstudium lernen muss.
LG Felix
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