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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 07.12.2010 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Punkt P mit dem Ortsvektor [mm] \vec [/mm] r = [mm] \pmat{ x & y & z} \in\IR^3.
[/mm]
a) Geben Sie die Matrix M an, die die Koordinaten y und z von [mm] \vec [/mm] r vertauscht.
Tipp: Gehen Sie dabei wie in der Vorlesung vor, d.h. setzen Sie die Koordinaten x,y,z paarweise
gleich Null.
b) Geben Sie die Matrix D an, die den Punkt um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] im mathematisch positiven Sinn um die
x-Achse dreht.
Hinweis: Die Drehmatrix für die x-Achsenrotation lässt sich analog zu der Drehmatrix für die z-Achse aus der Vorlesung bestimmen.
c) Geben Sie die Matrix S an, die den Punkt an der xz-Ebene spiegelt.
d) Zeigen Sie, dass sich der Punkt nach Anwendung dieser drei Operationen wieder an seinem ursprünglichen Ort befindet, indem Sie die Matrizen in der richtigen Reihenfolge multiplizieren.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Operation, die zuerst auf den Punkt wirkt, ganz rechts stehen muss usw.
e) Zeigen Sie, dass der Punkt NICHT am ursprünglichen Ort ankommt, wenn man die Operationen in der umgekehrten Reihenfolge ausführt. |
a) mit dem paarweise Null setzen habe ich bei c) verwendet...dabei geht es ja auch um die spiegelung.
ich verstehe nun nicht wie ich es paarweise null setzten soll.
b) da habe ich jedesmal statt [mm] \alpha \bruch{\pi}{2} [/mm] eingesetzt.
c) siehe a)
d) und e) wie sollte die Reihenfolge dargestellt werden? wie gehe ich da vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 07.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Was ist denn mit paarweise null setzen gemeint. Schreib mal hin, we Du c) bearbeitet hast. Dann gibts vieleicht eine Idee, wie a) zu lösen ist.
Zu b): schreib mal hin. Drehst Du richtig herum? Drehst Du um die x-Achse?
zu d) und e): Du nimmst den allgemeinen Vektor. Zuerst wirfst Du den der aus a zum Fraß vor. Die gibt einen Vektor raus. Diesen bekommt die Matrix aus b) zu schlucken. Dann ist noch die Matrix aus c) dran.
Anschließend ist eben zuerst die Matrix aus c) dran, danach kommen die aus b) und a).
Das Ganze kürzt Du ab, indem Du direkt die Matritzen miteinander multiplizierst: CBA und ABC.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Di 07.12.2010 | | Autor: | emulb |
also:
meine c)
[mm] \vecr [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] -> [mm] \vecr [/mm] ' = [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ -y \\ z} [/mm] = S [mm] \vecr [/mm]
S [mm] \vecr [/mm] = [mm] \pmat{ a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 } \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \pmat{ a11x+a12y+a13z \\ a21x+a22y+a23z \\ a31x+a32y+a33z } [/mm] = [mm] \vektor{x \\ -y \\ z}
[/mm]
für y=z=0 -> [mm] \vektor{a11x \\ a21x \\ a31x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
-> a11=1, a21=0, a31=0
für x=z=0 -> [mm] \vektor{a12y \\ a22y \\ a32y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
-> a12=0, a22=-1, a32=0
für x=y=0 -> [mm] \vektor{a13z \\ a23z \\ a33z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
-> a13=0, a23=0, a33=1
S = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
meine b)
[mm] \vektor{y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{ \phi cos \bruch{\pi}{2} \\ \phi sin \bruch{\pi}{2}} [/mm] -> [mm] \vektor{y' \\z'} [/mm] = [mm] \vektor{ \phi cos (\bruch{\pi}{2}+\varphi) \\ \phi sin (\bruch{\pi}{2}+\varphi)} [/mm]
cos [mm] (\bruch{\pi}{2}+\varphi) [/mm] = cos [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] cos [mm] \varphi [/mm] - sin [mm] (\bruch{\pi}{2}) [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
sin [mm] (\bruch{\pi}{2}+\varphi) [/mm] = sin [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] cos [mm] \varphi [/mm] + cos [mm] (\bruch{\pi}{2}) [/mm] sin [mm] \varphi
[/mm]
so geht das dann weiter....
hilfreich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 08.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Ja, nun weiß ich wie Du das machst. Das mit der Spiegelung ist ok. Nun zu der Drehung in b: Mach es genau so wie in c). Was ist denn eine Drehunng um [mm] \pi/2? [/mm] Da brauchst Du keine trigonometrische Funktion.
Zu a) auch da gehst Du genau wie bei c) vor. Rein steckst Du (0 1 0) und nach der Matrix soll (0 0 1) da stehen. Dann noch einmal für (0 0 1) und herauskommen soll (0 1 0).
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