Konvergenzradius und-verhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Matze_V |
Hallo allerseits,
ich knobele gerade an einer Potenzreihe, die mich verzweifeln lässt.
[mm] \summe_{k=3}^{ \infty} \bruch{2^{k}}{k*3^{k}}*(x-2)^{k}
[/mm]
Gefragt ist nach dem Entwicklungszentrum [mm] x_{0}, [/mm] dem offenen Konvergenzintervall (also ohne Randpunkte) und dem Konvergenzverhalten für x=5
Zunächst hab ich umgestellt auf
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{1}{k+3}*(x-2)^{k+3}
[/mm]
Das Entwicklungszentrum ist doch [mm] x_{0}=2
[/mm]
Für den Konvergenzradius bekomme ich nach der Formel r= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] |= [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Also konvergiert die Reihe für [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{7}{2}
[/mm]
Für x=5 sieht die Reihe ja so aus :
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} (\bruch{2}{3})^{k+3}* \bruch{3^{k+3}}{k+3} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3}
[/mm]
Und da [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^{k+3}}{k+3}= \infty
[/mm]
heist das doch, dass die Reihe für x=5 divergiert.
Als ich mein Ergebnis in Mathcad überprüfen wollte, habe ich folgendes Ergebniss bekommen:
[mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{2^{k+3}}{k+3} \to [/mm] -4-i* [mm] \pi
[/mm]
Was habe ich hier falsch gemacht oder übersehen ???
Vielen Dank im vorraus für Anregungen oder Tips,
Gruß Matze.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Die beiden Gleichheitszeichen, sprich: die Werte [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] sowie [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{7}{2}$ [/mm] wären noch gesondert zu untersuchen (anscheinend nicht Bestandteil dieser Aufgabenstellung).
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Also dieses Ergebnis ist mit schleierhaft ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
!!
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