Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergieren die folgende Potenzreihe? Berechnen Sie den Konvergenzradius.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{a^{n}+b^{n}} [/mm] mit a, b > 0 |
Hallo,
ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
Wir hatten in der Vorlesung folgende zwei Wege den Konvergenzradius [mm] \rho [/mm] einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot (x-x_{0})^{n} [/mm] zu bestimmen:
(1) [mm] \rho [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \right|
[/mm]
(2) [mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\left| {c_{n}} \right|}}}
[/mm]
Beides hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
Für (1) lande ich bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^{n} + b^{n}} [/mm] und für (2) bei [mm] \bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}} [/mm] und weiß nicht wie ich da weiter umformen könnte.
|
|
| |
|
Hallo Vuffi-Raa,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergieren die folgende Potenzreihe?
> Berechnen Sie den Konvergenzradius.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}[/mm] mit a, b >
> 0
> Hallo,
> ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> Wir hatten in der Vorlesung folgende zwei Wege den
> Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] einer Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot (x-x_{0})^{n}[/mm] zu
> bestimmen:
>
> (1) [mm]\rho[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \right|[/mm]
>
> (2) [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\left| {c_{n}} \right|}}}[/mm]
Das ist doppelt gemoppelt, ein Bruch ist zuviel, du meinst (und benutzt es ja auch später) [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}$
[/mm]
>
> Beides hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
>
> Für (1) lande ich bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^{n} + b^{n}}[/mm]
> und für (2) bei [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> und weiß nicht wie ich da weiter umformen könnte.
(2) ist der "bessere" Ansatz, allerdings ist [mm] $c_n=\frac{1}{a^n+b^n}$ [/mm]
Berechne also [mm] $\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}$
[/mm]
Nimm dazu oBdA an, dass $0<a<b$ ist und klammere [mm] $b^n$ [/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel ...
Bedenke, dass [mm] $\frac{a}{b} [/mm] \ < \ 1$ ist ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hallo Vuffi-Raa,
>
> > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergieren die folgende Potenzreihe?
> > Berechnen Sie den Konvergenzradius.
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}[/mm] mit a, b >
> > 0
> > Hallo,
> > ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
> >
> > Wir hatten in der Vorlesung folgende zwei Wege den
> > Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] einer Potenzreihe
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot (x-x_{0})^{n}[/mm] zu
> > bestimmen:
> >
> > (1) [mm]\rho[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \right|[/mm]
>
> >
> > (2) [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\left| {c_{n}} \right|}}}[/mm]
>
> Das ist doppelt gemoppelt, ein Bruch ist zuviel, du meinst
> (und benutzt es ja auch später)
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}[/mm]
Oh, stimmt.
> > Beides hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
> >
> > Für (1) lande ich bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^{n} + b^{n}}[/mm]
> > und für (2) bei [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> > und weiß nicht wie ich da weiter umformen könnte.
>
> (2) ist der "bessere" Ansatz, nimm nun oBdA an, dass [mm]0
> ist und klammere [mm]b^n[/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel ...
>
> Bedenke, dass [mm]\frac{a}{b} \ < \ 1[/mm] ist ...
Okay, ich hab das mal versuch und käme dann auf folgendes:
[mm] \bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {b^{n} (\bruch{a^{n}}{b^{n}}+1) }}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} b \cdot \wurzel[n]{ (\bruch{a}{b})^{n}+1) }}
[/mm]
Da nun [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < 1 gilt, geht [mm] (\bruch{a}{b})^n [/mm] gegen 0 und somit der Teil unter der Wurzel gegen 1 und damit auch die Wurzel gegen 1 und man erhält [mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{1}{b}
[/mm]
Wäre das so richtig?
> LG
>
> schachuzipus
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Hallo Vuffi-Raa,
> >
> > > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergieren die folgende Potenzreihe?
> > > Berechnen Sie den Konvergenzradius.
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}[/mm] mit a, b >
> > > 0
> > > Hallo,
> > > ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
> > >
> > > Wir hatten in der Vorlesung folgende zwei Wege den
> > > Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] einer Potenzreihe
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot (x-x_{0})^{n}[/mm] zu
> > > bestimmen:
> > >
> > > (1) [mm]\rho[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \right|[/mm]
>
> >
> > >
> > > (2) [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\left| {c_{n}} \right|}}}[/mm]
>
> >
> > Das ist doppelt gemoppelt, ein Bruch ist zuviel, du meinst
> > (und benutzt es ja auch später)
> > [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}[/mm]
>
> Oh, stimmt.
>
> > > Beides hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
> > >
> > > Für (1) lande ich bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^{n} + b^{n}}[/mm]
> > > und für (2) bei [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> > > und weiß nicht wie ich da weiter umformen könnte.
> >
> > (2) ist der "bessere" Ansatz, nimm nun oBdA an, dass [mm]0
> > ist und klammere [mm]b^n[/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel ...
> >
> > Bedenke, dass [mm]\frac{a}{b} \ < \ 1[/mm] ist ...
>
> Okay, ich hab das mal versuch und käme dann auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {b^{n} (\bruch{a^{n}}{b^{n}}+1) }}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} b \cdot \wurzel[n]{ (\bruch{a}{b})^{n}+1) }}[/mm]
>
> Da nun [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < 1 gilt, geht [mm](\bruch{a}{b})^n[/mm] gegen 0
> und somit der Teil unter der Wurzel gegen 1 und damit auch
> die Wurzel gegen 1 und man erhält [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{b}[/mm]
>
> Wäre das so richtig? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, ganz und gar richtig gerechnet, das Ergebnis würde auch stimmen, wenn [mm] $c_n=a^n+b^n$ [/mm] wäre, nur ist [mm] $c_n [/mm] \ $ nicht [mm] $a^b+b^n$, [/mm] sondern [mm] $c_n=\frac{1}{a^n+b^n}$
[/mm]
Das ist mir zuerst durchgegangen, habe es aber erst bemerkt und oben korrigiert als du deine neue Frage schon verfasst hast, also zu spät 
Zu berechnen ist also [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}$
[/mm]
Es ändert sich ja an der Rechnung im Prinzip nix, außer, dass am Ende [mm] $\rho=b$ [/mm] herauskommt ...
Damit hast du den Konvergenzradius [mm] $\rho=\max\{a,b\}$, [/mm] dh. (absolute) Konvergenz für [mm] $|x|<\max\{a,b\} [/mm] \ (=b) [mm] \text{nach Annahme}$
[/mm]
Wie sieht es an den Grenzen aus? Also hier für [mm] $x=\pm [/mm] b$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
>
> > > Hallo Vuffi-Raa,
> > >
> > > > Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergieren die folgende Potenzreihe?
> > > > Berechnen Sie den Konvergenzradius.
> > > >
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}[/mm] mit a, b >
> > > > 0
> > > > Hallo,
> > > > ich bräuchte mal eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
> > > >
> > > > Wir hatten in der Vorlesung folgende zwei Wege den
> > > > Konvergenzradius [mm]\rho[/mm] einer Potenzreihe
> > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot (x-x_{0})^{n}[/mm] zu
> > > > bestimmen:
> > > >
> > > > (1) [mm]\rho[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left| \bruch{c_{n}}{c_{n+1}} \right|[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > (2) [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\left| {c_{n}} \right|}}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das ist doppelt gemoppelt, ein Bruch ist zuviel, du meinst
> > > (und benutzt es ja auch später)
> > > [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}}[/mm]
> >
> > Oh, stimmt.
> >
> > > > Beides hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
> > > >
> > > > Für (1) lande ich bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^{n} + b^{n}}[/mm]
> > > > und für (2) bei [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> > > > und weiß nicht wie ich da weiter umformen könnte.
> > >
> > > (2) ist der "bessere" Ansatz, nimm nun oBdA an, dass [mm]0
> > > ist und klammere [mm]b^n[/mm] aus und ziehe es aus der Wurzel ...
> > >
> > > Bedenke, dass [mm]\frac{a}{b} \ < \ 1[/mm] ist ...
> >
> > Okay, ich hab das mal versuch und käme dann auf folgendes:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {a^{n} + b^{n} }}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{ {b^{n} (\bruch{a^{n}}{b^{n}}+1) }}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} b \cdot \wurzel[n]{ (\bruch{a}{b})^{n}+1) }}[/mm]
>
> >
> > Da nun [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < 1 gilt, geht [mm](\bruch{a}{b})^n[/mm] gegen 0
> > und somit der Teil unter der Wurzel gegen 1 und damit auch
> > die Wurzel gegen 1 und man erhält [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{1}{b}[/mm]
> >
> > Wäre das so richtig?
>
> Ja, ganz und gar richtig gerechnet, das Ergebnis würde auch
> stimmen, wenn [mm]c_n=a^n+b^n[/mm] wäre, nur ist [mm]c_n \[/mm] nicht
> [mm]a^b+b^n[/mm], sondern [mm]c_n=\frac{1}{a^n+b^n}[/mm]
>
> Das ist mir zuerst durchgegangen, habe es aber erst bemerkt
> und oben korrigiert als du deine neue Frage schon verfasst
> hast, also zu spät
Ah.. ich wusste doch, dass mir irgendwas komisch vorkam.^^
>
> Zu berechnen ist also
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}[/mm]
>
> Es ändert sich ja an der Rechnung im Prinzip nix, außer,
> dass am Ende [mm]\rho=b[/mm] herauskommt ...
>
> Damit hast du den Konvergenzradius [mm]\rho=\max\{a,b\}[/mm], dh.
> (absolute) Konvergenz für [mm]|x|<\max\{a,b\} \ (=b) \text{nach Annahme}[/mm]
>
> Wie sieht es an den Grenzen aus? Also hier für [mm]x=\pm b[/mm]
>
Okay, nach dem ich nun Wurzelkriterium und Quotientenkriterium erfolglos durchprobiert habe, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass die Reihe divergiert, weil die entsprechende Folge ja gar keine Nullfolge ist.
Für x = b:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b^{n}}{a^{n}+b^{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b^{n}}{b^{n} (\bruch{a^{n}}{b^{n}}+1)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{a}{b})^{n}+1} [/mm] = 1 (wieder weil [mm] \bruch{a}{b} [/mm] < 1)
Entsprechend für x = -b und damit gehören die Randpunkte also nicht zu unserem Konvergenzkreis.
Stimmt das so?
>
> LG
>
> schachuzipus
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Das ist mir zuerst durchgegangen, habe es aber erst bemerkt
> > und oben korrigiert als du deine neue Frage schon verfasst
> > hast, also zu spät
>
> Ah.. ich wusste doch, dass mir irgendwas komisch vorkam.^^
>
> >
> > Zu berechnen ist also
> >
> [mm]\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{a^n+b^n}\right|}}[/mm]
> >
> > Es ändert sich ja an der Rechnung im Prinzip nix, außer,
> > dass am Ende [mm]\rho=b[/mm] herauskommt ...
> >
> > Damit hast du den Konvergenzradius [mm]\rho=\max\{a,b\}[/mm], dh.
> > (absolute) Konvergenz für [mm]|x|<\max\{a,b\} \ (=b) \text{nach Annahme}[/mm]
>
> >
> > Wie sieht es an den Grenzen aus? Also hier für [mm]x=\pm b[/mm]
> >
>
>
> Okay, nach dem ich nun Wurzelkriterium und
> Quotientenkriterium erfolglos durchprobiert habe, bin ich
> zu dem Schluss gekommen, dass die Reihe divergiert, weil
> die entsprechende Folge ja gar keine Nullfolge ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, das Trivialkriterium ist verletzt!
>
> Für x = b:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b^{n}}{a^{n}+b^{n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b^{n}}{b^{n} (\bruch{a^{n}}{b^{n}}+1)}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{a}{b})^{n}+1}[/mm] = 1 (wieder weil [mm]\bruch{a}{b}[/mm] < 1)
>
> Entsprechend für x = -b und damit gehören die Randpunkte
> also nicht zu unserem Konvergenzkreis.
hier eher K-Intervall
>
> Stimmt das so?
ja, sehr gut!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 21.06.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Alles klar, dann bedanke ich mich für die schnelle und kompetente Hilfe! 
|
|
|
|
