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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}} [/mm] |
Halloo,
das war eine Übungsaufgabe, die wir zurück bekommen haben.
Ich habe geschrieben [mm] (-1)^n [/mm] ist alternierend und daraus folgt Leibnitzkriterium, darauf mein Leiter : Reicht nicht!.. meine erste Frage, was müsste ich denn noch dazu schreiben, damit es reicht? ^^
dann weiter habe ich geschrieben:
[mm] a_n: \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}
[/mm]
Man muss zeigen, dass die Reihe [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
[mm] a_n [/mm] ist eine Nullfolge, denn lässt man n gegen unendlich streben, wird der Bruch immer kleiner.
monoton fallend: [mm] a_n_+_1 \le a_n
[/mm]
[mm] \bruch{1}{{^{3}\sqrt{(n+1)^2+1}}} \le \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}
[/mm]
dann hab ich n=2 gewählt, eingesetzt und gezeigt, dass es kleiner gleich ist und daraus folgt die Konvergenz der Reihe. Mein Leiter: Nein! ..
was wäre denn richtig gewesen?
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Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
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> Halloo,
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> das war eine Übungsaufgabe, die wir zurück bekommen
> haben.
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> Ich habe geschrieben [mm](-1)^n[/mm] ist alternierend und daraus
> folgt Leibnitzkriterium, darauf mein Leiter : Reicht
> nicht!.. meine erste Frage, was müsste ich denn noch dazu
> schreiben, damit es reicht? ^^
Das Leibniz-Kriterium darf man nur auf alternierende Reihen anwenden, deren absolutes Reihenglied eine monotone Nullfolge ist. D.h., erst wenn das gezeigt ist, darf man mit dem Hernn Leibniz argumentieren! 
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> dann weiter habe ich geschrieben:
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> [mm]a_n: \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
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> Man muss zeigen, dass die Reihe [mm](a_n)[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist.
> [mm]a_n[/mm] ist eine Nullfolge, denn lässt man n gegen unendlich
> streben, wird der Bruch immer kleiner.
>
> monoton fallend: [mm]a_n_+_1 \le a_n[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{{^{3}\sqrt{(n+1)^2+1}}} \le \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
>
> dann hab ich n=2 gewählt, eingesetzt und gezeigt, dass es
> kleiner gleich ist und daraus folgt die Konvergenz der
> Reihe. Mein Leiter: Nein! ..
>
> was wäre denn richtig gewesen?
Die Ungleichung muss für alle n ab einem bestimmten N gezeigt werden, du hast ein einziges n eingesetzt und im Prinzip gesagt: Passt scho, aber da fehlen ja noch unendlich viele Werte, bei denen es theoretisch eben nicht passen könnte.
Gruß, Diophant
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hmm okay ^^ wie zeige ich denn, dass das absolute Reihenglied eine monotone Nullfolge ist? und wie mach ich das denn mit der Ungleichung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 So 10.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo ellegance!
Forme Deine Ungleichung [mm]\bruch{1}{{\wurzel[3]{(n+1)^2+1}}} \ \le \ \bruch{1}{{\wurzel[3]{n^2+1}}}[/mm] mittels Äquivalenzumformungen derart um, dass eine offensichtlich wahre Aussage entsteht.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 10.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
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> Halloo,
>
> das war eine Übungsaufgabe, die wir zurück bekommen
> haben.
>
> Ich habe geschrieben [mm](-1)^n[/mm] ist alternierend und daraus
> folgt Leibnitzkriterium, darauf mein Leiter : Reicht
> nicht!.. meine erste Frage, was müsste ich denn noch dazu
> schreiben, damit es reicht? ^^
>
> dann weiter habe ich geschrieben:
>
> [mm]a_n: \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
>
> Man muss zeigen, dass die Reihe [mm](a_n)[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist.
> [mm]a_n[/mm] ist eine Nullfolge, denn lässt man n gegen unendlich
> streben, wird der Bruch immer kleiner.
>
> monoton fallend: [mm]a_n_+_1 \le a_n[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{{^{3}\sqrt{(n+1)^2+1}}} \le \bruch{1}{{^{3}\sqrt{n^2+1}}}[/mm]
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> dann hab ich n=2 gewählt, eingesetzt und gezeigt, dass es
> kleiner gleich ist und daraus folgt die Konvergenz der
> Reihe. Mein Leiter: Nein! ..
>
> was wäre denn richtig gewesen?
Behauptung: alle Menschen sind 178 cm groß.
Beweis: ich bin 178 cm groß und mein Kumpel Otto auch.
FRED
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nicht schlecht Fred, ich bin wirklich 178cm groß ^^ und danke habe jetzt mein Fehler verstanden.
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