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Konvergenz von Folgen: Beweisen von konvergenten Folg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Mi 10.12.2014
Autor: mathswho

Aufgabe
Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon-Kriteriums [/mm] aus der Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] mit
[mm] a_{n}=n^2/(n^2+n+1) [/mm]
konvergiert

Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1 [/mm]

[mm] |a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
=> [mm] N>1/\varepsilon [/mm]

[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 1 [mm] \exists [/mm] N > 1//varepsilon [mm] \forall_{n} [/mm] ≥ N: [mm] |a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon [/mm]

ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> mit
>  [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
>  konvergiert
>  Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
>  
> [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>  => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]

Was bedeutet dieser Implikationspfeil ???  Was ist N ?


>  
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1

Du meinst sicher [mm] \varepsilon [/mm] >0.



>  [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon

> [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
>  
> ist das richtig?

Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !



Rechne nach:

[mm] |a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}. [/mm]

Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen, damit gilt:

   [mm] |a_n-1|<\varepsilon [/mm]  für alle n>N ?

FRED

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Mi 10.12.2014
Autor: mathswho

muss ich dann [mm] N=1/\varepsilon [/mm] wählen?> > Zeigen Sie mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> > Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> > mit
>  >  [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
>  >  konvergiert
>  >  Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
>  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
>  >  
> > [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
>  >  => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]

>  
> Was bedeutet dieser Implikationspfeil ???  Was ist N ?
>  
>
> >  

> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1
>  
> Du meinst sicher [mm]\varepsilon[/mm] >0.
>  
>
>
> >  [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon

> > [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> >
> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
>  >  
> > ist das richtig?
>  
> Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es
> ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !
>  
>
>
> Rechne nach:
>  
> [mm]|a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}.[/mm]
>  
> Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen,
> damit gilt:
>  
> [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm]  für alle n>N ?
>  
> FRED
>  >  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
>  


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> muss ich dann [mm]N=1/\varepsilon[/mm] wählen?

Es xsollte schon N [mm] \in \IN [/mm] gelten ....


FRED




> > Zeigen Sie
> mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> > > Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> > > mit
>  >  >  [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
>  >  >  konvergiert
>  >  >  Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
>  >  >  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> > > [mm]\varepsilon[/mm]
>  >  >  => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]

>  >  
> > Was bedeutet dieser Implikationspfeil ???  Was ist N ?
>  >  
> >
> > >  

> > > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1
>  >  
> > Du meinst sicher [mm]\varepsilon[/mm] >0.
>  >  
> >
> >
> > >  [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon

> > > [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> > >
> >
> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
>  >  >  
> > > ist das richtig?
>  >  
> > Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es
> > ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !
>  >  
> >
> >
> > Rechne nach:
>  >  
> > [mm]|a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}.[/mm]
>  
> >  

> > Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen,
> > damit gilt:
>  >  
> > [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm]  für alle n>N ?
>  >  
> > FRED
>  >  >  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> >  

>  


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Mi 10.12.2014
Autor: mathswho

muss ich dann [mm] N=1/\varepsilon [/mm] wählen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> muss ich dann [mm]N=1/\varepsilon[/mm] wählen?

Es sollte N [mm] \in \IN [/mm] sein ....

FRED


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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Mi 10.12.2014
Autor: mathswho

Und N=1? Wegen dem Grenzwert?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mi 10.12.2014
Autor: fred97


> Und N=1? Wegen dem Grenzwert?

Unfug !

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Mi 10.12.2014
Autor: mathswho

[mm] a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+n+1}= \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}=1 [/mm]

[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n ≥ N

| [mm] \bruch{n^2}{n^2+n+1}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

| [mm] \bruch{n^2}{n^2+n+1}-1| [/mm] = | [mm] \bruch{n^2-n^2-n-1}{n^2+n+1}|= [/mm] |- [mm] \bruch{n+1}{n^2+n+1}|= \bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \gdw \bruch{1}{n}< \varepsilon [/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\varepsilon}< [/mm] N

ist das jetzt so richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mi 10.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

warum wird denn immer an Worten gespart?

Gegeben sei

> [mm]a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+n+1}= \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]

Wir behaupten:

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}=1[/mm]

Beweis:

Wir werden zeigen:

> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}-a|[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] n ≥ N

, d.h. für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann

> | [mm]\bruch{n^2}{n^2+n+1}-1|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]

Es gilt nämlich für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm]

> | [mm]\bruch{n^2}{n^2+n+1}-1|[/mm] = |[mm]\bruch{n^2-n^2-n-1}{n^2+n+1}|=[/mm] |- [mm]\bruch{n+1}{n^2+n+1}|= \bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}[/mm]

"Sei dazu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (beliebig, aber fest)." (Und jetzt machst Du
einen Fehler!)

> [mm]\red{\gdw} \bruch{1}{n}< \varepsilon[/mm]

Die Logik ist die: Wenn wir nun $N [mm] \in \IN$ [/mm] so angeben können, dass

    [mm] $\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt, sind wir fertig:
Es existiert ein (nicht notwendig das kleinste) $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass

    [mm] $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

ist (andernfalls wäre [mm] $\IN \subseteq \IR$ [/mm] durch [mm] $1/\varepsilon$ [/mm] nach oben beschränkt).
[Wenn Du doch das kleinste angeben willst: [mm] $N:=\lfloor 1/\varepsilon\rfloor+1$!] [/mm]

Sei also [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] so gewählt, dann folgt die Behauptung mit Hilfe
der obigen Abschätzung, weil

   [mm] $|a_n-1| \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge N\,.$ [/mm]

Bei dem [mm] "$\red{\gdw}$" [/mm] brauchst Du nur [mm] $\Leftarrow$, [/mm] sofern Du ergänzt, dass

    $1/n < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,$ [/mm]

gelten soll. Diese Bedingung ist hinreichend für das, was Du haben willst.
Und das [mm] $\red{\gdw}$ [/mm] darfst oder solltest Du an der Stelle auch nicht schreiben,
weil ja gar nicht klar ist, dass diese hinreichende Bedingung auch notwendig
ist!

Lies' Dir vielleicht auch

    hier

nochmal durch, wie ein Beweis eigentlich funktioniert. Nicht alle hinreichenden
Bedingungen, die eine Aussage beweisen, sind auch automatisch
notwendig für diese!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Do 11.12.2014
Autor: mathswho

Vielen Dank für diese Erklärung!

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