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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz unendliche Reihe
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Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mi 01.07.2015
Autor: jengo32

Aufgabe
Untersuchen Sie die unendliche Reihe auf Konvergenz:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{ln(n+1)} [/mm]

Hallo,

bei obiger Aufgabe komme ich ins trudeln.

Ich möchte die Aufgabe anhand des Quotientenkriteriums lösen.

[mm] \bruch{an+1}{an} [/mm]

Das wäre in diesem Fall:

[mm] \bruch{ln(n+1)}{ln(n+2)} [/mm]

Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu überprüfen?

Wie immer vielen Dank im Voraus

Jengo


        
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mi 01.07.2015
Autor: DieAcht

Hallo Jengo!


> Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu überprüfen?

Es ist

      [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty [/mm] (Warum?),

also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.


Tipp: Minorantenkriterium.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Mi 01.07.2015
Autor: jengo32


> > Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu
> überprüfen?
>
> Es ist
>  
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),

Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder nur zu blind :-) ?

>  
> also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.
>

Gruß


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Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mi 01.07.2015
Autor: DieAcht


> > Es ist
>  >  
> > [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),
>  
> Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du
> mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert
> komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder
> nur zu blind :-) ?

Was dürft ihr denn schon benutzen? Eine Möglichkeit:

Offensichtlich ist [mm] \ln(n+1)\to\infty\quad(n\to\infty) [/mm] und [mm] \ln(n+2)\to\infty\quad(n\to\infty), [/mm]

so dass mit L'Hôpital und den Grenzwertsätzen gilt

      [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1+0}{1+0}=1. [/mm]


Wie gesagt: Verwende das Minorantenkriterium!

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mi 01.07.2015
Autor: jengo32


> Was dürft ihr denn schon benutzen?

Wir benutzen nur das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.

> Wie gesagt: Verwende das Minorantenkriterium!

Das kenne ich leider noch nicht



Eine andere Frage. Ich merke, dass ich noch ziemliche Schwierigkeiten mit dem Thema habe.

1. Wenn ich eine Reihe auf Konvergenz überprüfen möchte, inwieweit spielt der Grenzwert dabei eine Rolle ?

Also so wie ich das verstanden habe, habe ich doch verschiedene Kriterien bei Reihen, mit denen ich am Ende einen Wert errechne, und wenn dieser <1 ist, dann liegt Konvergenz vor, wenn =1 keine Aussage und wenn >1, dann Divergenz.

Den Wert den ich am Ende rausbekomme,  ist ja aber nicht mein Grenzwert. Inwieweit braucht man jetzt den Grenzwert um auf Konvergenz zu überprüfen? Wende ich die Regel von L'hospital an wenn ich einen unbestimmten Ausdruck habe, wie es hier der Fall ist?

Die ganze Sache ist mir noch nicht geheuer. Ich wäre auch für verständliche Internet-Links dankbar...

LG Jengo


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Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Mi 01.07.2015
Autor: abakus

Hallo,
das Minorantenkriterium verwendet man um zu zeigen, dass eine Reihe NICHT konvergiert. Insofern hat man dir damit schon den Tipp gegeben, dass deine Reihe divergiert.

Das Prinzip ist folgendes: Man vergleicht die zu untersuchende Reihe mit einer anderen Reihe. Von dieser anderen Reihe sind alle Summanden kleiner als die Summanden der zu untersuchenden Teihe, aber trotz dieser kleineren Summanden weiß man, dass selbst diese Reihe divergiert. Dann muss die Reihe mit den größeren Summanden erst recht divergieren.

Möglicherweise ist dir bekannt dass [mm] $ln(x+1)\le [/mm] x$ gilt. Daraus folgt, dass immer [mm] $\frac{1}{ln(n+1)}\ge \frac1n$ [/mm] ist.
Und die bereits die Reihe von [mm] $\frac1n$ [/mm] divergiert...

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Do 02.07.2015
Autor: jengo32


> Das Prinzip ist folgendes: Man vergleicht die zu
> untersuchende Reihe mit einer anderen Reihe. Von dieser
> anderen Reihe sind alle Summanden kleiner als die Summanden
> der zu untersuchenden Teihe, aber trotz dieser kleineren
> Summanden weiß man, dass selbst diese Reihe divergiert.
> Dann muss die Reihe mit den größeren Summanden erst recht
> divergieren.

Also um festzuhalten: Ich habe eine Reihe A und "suche" mir jetzt eine (beliebige (?) ) Reihe B, von der ich schon weiß dass sie divergent ist und kleiner ist als Reihe A. Da Reihe B divergiert muss Reihe A auch divergieren. Ist das soweit richtig?

Die Reihe 1/n ist ja die Harmonische Reihe wenn ich nicht falsch liege. Kann ich für dieses Kriterium immer die Harmonische Reihe verwenden (vorausgesetzt sie ist halt kleiner als meine gegebene Reihe A ?)

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:25 Do 02.07.2015
Autor: impliziteFunktion

Im Prinzip ist alles richtig was du schreibst.

> Kann ich für dieses Kriterium immer die Harmonische Reihe verwenden
> (vorausgesetzt sie ist halt kleiner als meine gegebene Reihe A ?)

Wenn die harmonische Reihe eine minorante deiner Reihe ist, dann kannst du das natürlich tun.
Es wird aber nicht so sein, dass du für jede divergente Reihe immer die harmonische Reihe benutzen kannst um die Divergenz zu zeigen.
Oftmals kann man es jedoch schon auf die harmonische Reihe zurückführen.
Das geht aber natürlich nicht immer und man muss sich etwas besseres überlegen.

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Do 02.07.2015
Autor: jengo32

Ok, soweit denke habe ich das dann glaube ich verstanden.

Das bedeutet dann aber auch, dass ich am besten ein paar bekannte divergente und konvergente reihen im Kopf haben sollte, damit ich zügig das Majoranten- und Minorantenkriterium in einer Klausur anwenden kann.

Fazit der Aufgabe ist, dass meine Reihe 1/ln(n+1) > der Reihe 1/n ist. Und da bekanntermaßen die Harmonische Reihe div. muss auch die Reihe von 1/ln(n+1) divergieren.

Majorantenkriterium um Konvergenz zu zeigen und Minorantenkriterium um Divergenz zu zeigen

Falls das so stimmt, danke ich euch allen herzlichst und werde mich bei weiteren Aufgaben wieder im Forum melden :-)

Jengo

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Do 02.07.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ok, soweit denke habe ich das dann glaube ich verstanden.
>  
> Das bedeutet dann aber auch, dass ich am besten ein paar
> bekannte divergente und konvergente reihen im Kopf haben
> sollte, damit ich zügig das Majoranten- und
> Minorantenkriterium in einer Klausur anwenden kann.

[ok]

> Fazit der Aufgabe ist, dass meine Reihe 1/ln(n+1) > der
> Reihe 1/n ist. Und da bekanntermaßen die Harmonische Reihe
> div. muss auch die Reihe von 1/ln(n+1) divergieren.
>  
> Majorantenkriterium um Konvergenz zu zeigen und
> Minorantenkriterium um Divergenz zu zeigen

[ok]

> Falls das so stimmt, danke ich euch allen herzlichst und
> werde mich bei weiteren Aufgaben wieder im Forum melden
> :-)

Aber schau' Dir auch meine andere Antwort mit dem Hinweis auf den
Cauchyschen Verdichtungssatz an!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Do 02.07.2015
Autor: jengo32


> Aber schau' Dir auch meine andere Antwort mit dem Hinweis
> auf den
>  Cauchyschen Verdichtungssatz an!

Bin ich gerade dabei :-)

> Gruß,
>    Marcel

Gruß zurück
Jengo


Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Do 02.07.2015
Autor: jengo32

Vielleicht könntet ihr einmal überprüfen, ob ich das richtig verstanden habe:

Geprüft werden soll auf das Konvergenzverhalten von

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]

Dann könnte ich doch jetzt das Minorantenkriterium anwenden, da:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm]

und da [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] divergiert, tut es auch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]

Würde so simpel meine Antwort in einer Klausur aussehen zu der Aufgabenstellung?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Do 02.07.2015
Autor: fred97


> Vielleicht könntet ihr einmal überprüfen, ob ich das
> richtig verstanden habe:
>  
> Geprüft werden soll auf das Konvergenzverhalten von
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Dann könnte ich doch jetzt das Minorantenkriterium
> anwenden, da:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] >
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]

So kannst Du das nicht schreiben, sondern:

  es gilt [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \ge \bruch{1}{n} [/mm]  für alle n [mm] \in \IN [/mm]


>  
> und da [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm] divergiert, tut
> es auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Würde so simpel meine Antwort in einer Klausur aussehen zu
> der Aufgabenstellung?

Ja, mit obiger Verbesserung.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz unendliche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mi 01.07.2015
Autor: Marcel

Hallo,

>  
> > > Wie muss ich jetzt weiter verfahren um die Konvergenz zu
> > überprüfen?
> >
> > Es ist
>  >  
> > [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n+2)}\to 1[/mm] für
> > [mm]n\to\infty[/mm] (Warum?),
>  
> Mir ist nicht klar, warum ich hier auf 1 komme. Kannst du
> mir das anschaulich verdeutlichen wie ich auf diesen Wert
> komme ? Sieht man das mit bloßem Auge und ich bin wieder
> nur zu blind :-) ?
>  >  
> > also liefert das Quotienkriterium keine Aussage.

dass das QK keine Aussage liefert, ist nun geklärt. (Oder?) Für eine Aussage
über das Kgz.-Verhalten von

    [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}$ [/mm]

zu treffen, kannst Du auch Cauchys Verdichtungskriterium heranziehen:

    [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ln(n+1)}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln(n)}$ [/mm]

hat das gleiche Kgz.-Verhalten wie

    [mm] $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{\ln(2^n)}=\frac{1}{\ln(2)}*\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{n}$ [/mm]

(Da offenbar [mm] $2^n/n \not\to [/mm] 0$, divergiert die letzte Reihe nach dem Trivialkriterium!)

Beachte: [mm] $(1/\ln(n))_{n=2}^\infty$ [/mm] ist (streng) monoton fallende Nullfolge!

Gruß,
  Marcel

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