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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz und Grenzwert
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Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 Do 30.04.2015
Autor: brudi

Aufgabe
Untersuche auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert:

${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} [/mm] } $

Wie würdet ihr hier vorgehen? Ich steh grade etwas auf dem Schlauch!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Do 30.04.2015
Autor: chrisno

Annehmen, dass ein Grenzwert existiert, mit [mm] $\br{1}{n^2}$ [/mm] erweitern und dann nachsehen, was herauskommt.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 30.04.2015
Autor: brudi

Ich komme dann auf:

[mm] $\frac [/mm] { 3n - 1 }{ 5n+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{3} [/mm] } $

Wie kann mir das weiter helfen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Do 30.04.2015
Autor: fred97


> Ich komme dann auf:
>  
> [mm]\frac { 3n - 1 }{ 5n+{ (-1) }^{ n }\cdot 2{ n }^{3} }[/mm]


Hä ? Wie kommst Du denn darauf ? Richtig ists nicht !

>  
> Wie kann mir das weiter helfen?

Nein.

Hast Du das

https://matheraum.de/read?i=1057231


nicht gelesen ?

FRED


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Do 30.04.2015
Autor: chrisno

Die Befürchtung ist, dass Du bei der Burch und Klammerrechnung Fehler machst.
Erweitern heißt: den Zähler und den Nenner mit dem gleichen Faktor multiplizieren.
Das Multiplizieren führst Du durch, indem Du zuerst um den Nenner und den Zähler ein Klammerpaar setzt und dann die Multiplikation durchführst. Schreibe da in einzelnen Schritten auf.

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:08 Do 30.04.2015
Autor: brudi

Ich habe es mir in einzelnen Schritten aufgeschrieben und komme jetzt auf

$ [mm] \frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{n } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { -1 [mm] }^{n} [/mm] } $

Sieht das vielleicht richtig aus? ;-)

Falls ja, kann ich davon ausgehen, dass da [mm] $\frac{-1}{n}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{{n}^{2}}$ [/mm] gegen 0 laufen und [mm] ${(-1)}^{n}$ [/mm] immer -1 für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist, du, Fred, so auf die [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] kommst? Wie schließe ich daraus die Divergenz?  

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Do 30.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habe es mir in einzelnen Schritten aufgeschrieben und
> komme jetzt auf
>  
> [mm]\frac { \frac{ -1 }{n } + 3 }{ \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ 2 \cdot { -1 }^{n} }[/mm]
>  
> Sieht das vielleicht richtig aus? ;-)

fast. Es ist

    $ { a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{n } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{n}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { [mm] \red{(}-1\red{)} }^{n} [/mm] } $
  
[Es gibt dafür eigentlich zwei Rechenmöglichkeiten:
1. Alternative: ${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac{1/n^2}{1/n^2}*\frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} [/mm] }=...$

oder (indem man im Zähler und Nenner jeweils [mm] $n^2$ [/mm] vorklammert) die

2. Alternative: ${ a [mm] }_{n } [/mm] = [mm] \frac [/mm] { 3{ n [mm] }^{ 2 }-n [/mm] }{ 5+{ (-1) [mm] }^{ n }\cdot [/mm] 2{ n [mm] }^{2} }=\frac{n^2*(\tfrac{3n^2}{n^2}-\tfrac{n}{n^2})}{n^2*(\tfrac{5}{n^2}+(-1)^n\tfrac{2n^2}{n^2})}=...$] [/mm]

> Falls ja, kann ich davon ausgehen, dass da [mm]\frac{-1}{n}[/mm] und
> [mm]\frac{5}{{n}^{2}}[/mm] gegen 0 laufen und [mm]{(-1)}^{n}[/mm] immer -1
> für alle [mm]n \in \IN[/mm] ist, du, Fred, so auf die [mm]\frac{3}{2}[/mm]
> kommst?

Nein. Das Problem ist, dass [mm] $2*(-1)^n$ [/mm] eben nicht immer [mm] $=2*1\,$ [/mm] ist. Ansonsten
wären Deine Argumente gar nicht so verkehrt - damit Du weißt, was Du da
aber eigentlich tust: Denke an die Grenzwertsätze für konvergente(!) Folgen.

Jetzt zu dem, was Fred vorgeschlagen hat:
Schreiben wir mal ${ a [mm] }_{k }=\frac [/mm] { [mm] \frac{ -1 }{k } [/mm] + 3 }{ [mm] \frac{5 }{{k}^{ 2 }}+ [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] { [mm] \red{(}-1\red{)} }^{k} }\,.$ [/mm] Ersetze nun
überall [mm] $k=2n\,$ [/mm] (dann werden nur noch gerade [mm] $k\,$ [/mm] durchlaufen) und lasse danach dann
$n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen - der Unterschied wird i.W. sein, dass sich wegen [mm] $(-1)^{2n}=\left((-1)^2\right)^n=1^n=1$ [/mm]
die "Problematik: [mm] $(\,(-1)^n\,)_{n \in \IN}$ [/mm] divergiert" *weghebelt*. Das hattest
Du halt falsch gesehen: [mm] $(-1)^n=1$ [/mm] gilt nur für genau die geraden n, für ungerade
ist [mm] $(-1)^n=-1\,.$ [/mm]

> Wie schließe ich daraus die Divergenz?  

Wir sehen dann: Die Teilfolge [mm] $(a_{2n})_n$ [/mm] strebt gegen [mm] $3/2\,.$ [/mm]

Mache das gleiche wie oben und ersetze [mm] $k\,$ [/mm] durch [mm] $2n+1\,$ [/mm] (wenn Dir das
besser gefällt, kannst Du auch [mm] $2n-1\,$ [/mm] nehmen).

Die Teilfolge [mm] $(a_{2n+1})_n$ [/mm] müßte im Falle der Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] aber den
gleichen Grenzwert haben, wie [mm] $(a_{2n})_n\,.$ [/mm] Aber $3/2 [mm] \not=\,-\,3/2$. [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 Do 30.04.2015
Autor: brudi

Super, das habe ich verstanden! Vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Bezug
        
Bezug
Konvergenz und Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 30.04.2015
Autor: fred97


> Untersuche auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert:
>  
> [mm]{ a }_{n } = \frac { 3{ n }^{ 2 }-n }{ 5+{ (-1) }^{ n }\cdot 2{ n }^{2} }[/mm]
>  
> Wie würdet ihr hier vorgehen? Ich steh grade etwas auf dem
> Schlauch!

Die Folge ist divergent, denn

   [mm] a_{2n} \to \bruch{3}{2} [/mm]

und

    [mm] a_{2n+1} \to -\bruch{3}{2} [/mm]

Zeige das !

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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