Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:44 So 10.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute,
kann mir wer sagen, ob das hier richtig ist?
Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{n} [/mm]
[mm] a_{2n}=\bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm]
[mm] a_{2n-1}=\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Ich dachte mir, ich teile die Reihe einfach auf für gerade und ungerade n und untersuche dann zuerst [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}
[/mm]
Diese Teilsumme kann ich wiederum aufteilen für gerade und ungereade n. Für gerade n wird daraus ja gerade die "Hälfte" der harmonischen Reihe:
[mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{8}...
[/mm]
Diese Reihe ist divergent.
Dann muss [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] auch divergent sein, und damit auch [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{n} [/mm]
Kann man so argumentieren??
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 So 10.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hey Leute,
>
> kann mir wer sagen, ob das hier richtig ist?
>
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}[/mm]
> [mm]a_{2n}=\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> [mm]a_{2n-1}=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> Ich dachte mir, ich teile die Reihe einfach auf für gerade
> und ungerade n und untersuche dann zuerst
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> Diese Teilsumme
> kann ich wiederum aufteilen für gerade und ungereade n.
> Für gerade n wird daraus ja gerade die "Hälfte" der
> harmonischen Reihe:
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{8}...[/mm]
> Diese Reihe ist divergent.
Die harmonische Reihe ist zwar divergent, das stimmt, aber was Du hin geschrieben hast, ist nicht die harmonische Reihe sondern die geometrische Reihe, und die ist konvergent. Also ist Dein Argument unten nicht richtig.
Weiter kommst Du, wenn Du die erste Reihe mit dem Leibnitz Kriterium untersuchst.
> Dann muss [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] auch
> divergent sein, und damit auch [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}[/mm]
>
> Kann man so argumentieren??
Ja, aber das wäre dann falsch.
Der zweite Teil der Reihe ist ebenfalls eine geometrische Reihe.
Wenn Du willst ist es auch möglich nicht nur die Konvergenz nachzuweisen sondern auch den Grenzwert explizit zu berechnen, da beide Grenzwerte bekannt sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 10.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Du, da vertust du dich aber; die Reihe über [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist die harmonische Reihe; die geometrische Reihe ist die Summe über [mm] x^{n}
[/mm]
Danke trotzdem für die Antwort =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 So 10.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja, da hab ich nicht genau hingeschaut.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 So 10.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Leute,
>
> kann mir wer sagen, ob das hier richtig ist?
>
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}[/mm]
> [mm]a_{2n}=\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> [mm]a_{2n-1}=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> Ich dachte mir, ich teile die Reihe einfach auf für gerade
> und ungerade n und untersuche dann zuerst
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> Diese Teilsumme
> kann ich wiederum aufteilen für gerade und ungereade n.
> Für gerade n wird daraus ja gerade die "Hälfte" der
> harmonischen Reihe:
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{8}...[/mm]
> Diese Reihe ist divergent.
> Dann muss [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] auch
> divergent sein, und damit auch [mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{n}[/mm]
>
> Kann man so argumentieren??
Nein.
Nehmen wir an , wir haben 2 konvergente Reihen [mm] \sum b_n [/mm] und [mm] \sum c_n.
[/mm]
Die n-te Teilsumme von [mm] \sum b_n [/mm] sei [mm] B_n [/mm] und die n-te Teilsumme von [mm] \sum c_n [/mm] sei [mm] C_n.
[/mm]
Wir def. eine neue Folge:
[mm] a_{2n}:=b_n, a_{2n-1}:=c_n
[/mm]
und betrachten die Reihe [mm] \sum a_n. [/mm] Deren n-te Teilsumme sei [mm] A_n.
[/mm]
Rechne nach:
[mm] A_{2n}=B_n+C_n [/mm] und [mm] A_{2n+1}= A_{2n}+c_{2n+1}
[/mm]
Da [mm] (c_n) [/mm] eine Nullfolge ist, sieht man:
[mm] (A_{2n}) [/mm] und [mm] (A_{2n+1})
[/mm]
sind konvergent und haben den gleichen Grenzwert.
Damit ist [mm] (A_n), [/mm] also [mm] \sum a_n, [/mm] konvergent.
FRED
>
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 10.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Fred, danke für die Antwort!
Ich habe fast alles verstanden, nur zwei Fragen:
1. Wo genau ist der Fehler in meiner Argumentation, ich hab doch gezeigt, dass eine Teilfolge divergiert, müsste dann nicht auch die gesamte Folge divergieren?
2. Am Ende folgerst Du, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert, weil du gezeigt hast, dass zwei Partialsummen [mm] A_{2n} [/mm] und [mm] A_{2n+1} [/mm] konvergieren und denselben Grenzwert haben.
Ist das ein eigenes Kriterium für Reihenkonvergenz? Wenn zwei Partialsummen konvergieren und denselben Wert haben, konvergiert die ganze Summe?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
1.)
In deiner Argumentation gehst du von der Teilsumme [mm] \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+... [/mm] aus, aber du unterschlägst dabei das [mm] (-1)^n. [/mm] Damit hast du die Summanden [mm] -\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-... [/mm] in deiner Summe.
2.)
Das gilt allgemein für Folgen, wenn du eine Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] hast und du weißt, dass [mm] (x_{2n}) [/mm] und [mm] (x_{2n+1}) [/mm] beide gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, dann konvergiert auch [mm] (x_n) [/mm] dagegen. Das kann man leicht mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 So 10.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Du,
stimmt, das kann nicht legitim sein, was ich gemacht habe...
Achso... das heißt, wenn ich bei einer Reihe eine Partialsumme [mm] A_{n} [/mm] nehme und gucke, wohin die konvergiert, und dann die Partialsumme [mm] A_{n+1} [/mm] nehme, und die gegen denselben Wert konvergiert, dann konvergiert die gesamte Reihe.
Danke auch dir :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 10.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Genau!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Ich hab doch nochmal eine Frage dazu:
Kann ichs nicht auch mit den Grenzwertsätzen machen?
[mm] b_{n}:=\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k}\bruch{1}{k}
[/mm]
Das ist die alternierende harm. Reihe und die konvergiert.
[mm] c_{n}:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k}}
[/mm]
Das ist eine konvergente geometr. Reihe.
Und es gilt ja
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
Nach den Grenzwertsätzen konvergiert diese Summe doch dann auch, oder nicht??!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:47 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Paivren |
die mittelung hier einfach ignorieren
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ich hab doch nochmal eine Frage dazu:
>
> Kann ichs nicht auch mit den Grenzwertsätzen machen?
>
> [mm]b_{n}:=\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k}\bruch{1}{k}[/mm]
> Das ist die alternierende harm. Reihe und die
> konvergiert.
> [mm]c_{n}:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k}}[/mm]
> Das ist eine
> konvergente geometr. Reihe.
>
> Und es gilt ja
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> Nach den Grenzwertsätzen konvergiert diese Summe doch dann
> auch, oder nicht??!
Ja! Warum fragst Du? Kannst Du Deine Begründung nicht nachvollziehen?
Gruß,
Wolfgang
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab doch nochmal eine Frage dazu:
>
> Kann ichs nicht auch mit den Grenzwertsätzen machen?
>
> [mm]b_{n}:=\summe_{k=1}^{n}(-1)^{k}\bruch{1}{k}[/mm]
> Das ist die alternierende harm. Reihe und die
> konvergiert.
> [mm]c_{n}:=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2^{k}}[/mm]
> Das ist eine
> konvergente geometr. Reihe.
>
> Und es gilt ja
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> Nach den Grenzwertsätzen konvergiert diese Summe doch dann
> auch, oder nicht??!
>
>
Ich halte diese Vorgehensweise für etwas gefährlich, denn Deine Zeile
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
lautet ausgeschrieben:
[mm] a_1+a_2+a_3 [/mm] +......= [mm] (a_2+a_4+a_6+....)+(a_1+a_3+a_5+...)
[/mm]
Das ist eigentlich nur erlaubt, wenn man schon gezeigt hat, dass die linke Reihe konvergiert.
Wie man das zeigt, hab ich Dir gezeigt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
> Deine Zeile
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
> + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> lautet ausgeschrieben:
>
> [mm]a_1+a_2+a_3[/mm] +......= [mm](a_2+a_4+a_6+....)+(a_1+a_3+a_5+...)[/mm]
>
> Das ist eigentlich nur erlaubt, wenn man schon gezeigt hat,
> dass die linke Reihe konvergiert.
Nein. Gerade dann ist die Gleichung im allgemeinen nicht gültig. Nimm als Beispiel
die alternierende harmonische Reihe.
Wenn dagegen die beiden Reihen rechter Hand konvergieren, dann konvergiert auch die linke Reihe.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Deine Zeile
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}= \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
> > + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^{n}}[/mm]
> >
> > lautet ausgeschrieben:
> >
> > [mm]a_1+a_2+a_3[/mm] +......= [mm](a_2+a_4+a_6+....)+(a_1+a_3+a_5+...)[/mm]
> >
> > Das ist eigentlich nur erlaubt, wenn man schon gezeigt hat,
> > dass die linke Reihe konvergiert.
>
> Nein. Gerade dann ist die Gleichung im allgemeinen nicht
> gültig. Nimm als Beispiel
> die alternierende harmonische Reihe.
>
> Wenn dagegen die beiden Reihen rechter Hand konvergieren,
Davon bin ich ausgegangen !
> dann konvergiert auch die linke Reihe.
Ja und das ist doch der Inhalt der Aufgabe !
FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 11.02.2013 | | Autor: | Paivren |
Aber Fred, benutzt Du in deinem Beweis nicht auch die Grenzwertsätze?
Wir wissen ja, dass [mm] B_{n} [/mm] und [mm] C_{n} [/mm] konvergent sind.
Und Du zeigst, dass [mm] A_{2n+1} [/mm] für [mm] n-->\infty [/mm] genau dahin konvergiert, wogegen auch [mm] A_{2n} [/mm] konvergiert, weil [mm] c_{n} [/mm] Nullfolge ist.
Dass [mm] A_{2n} [/mm] aber überhaupt konvergiert ist doch damit noch nicht gesagt, es sei denn, man geht von den Grenzwertsätzen aus, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Aber Fred, benutzt Du in deinem Beweis nicht auch die
> Grenzwertsätze?
Na klar.
FRED
>
> Wir wissen ja, dass [mm]B_{n}[/mm] und [mm]C_{n}[/mm] konvergent sind.
> Und Du zeigst, dass [mm]A_{2n+1}[/mm] für [mm]n-->\infty[/mm] genau dahin
> konvergiert, wogegen auch [mm]A_{2n}[/mm] konvergiert, weil [mm]c_{n}[/mm]
> Nullfolge ist.
> Dass [mm]A_{2n}[/mm] aber überhaupt konvergiert ist doch damit
> noch nicht gesagt, es sei denn, man geht von den
> Grenzwertsätzen aus, oder?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Du,
>
> stimmt, das kann nicht legitim sein, was ich gemacht
> habe...
>
> Achso... das heißt, wenn ich bei einer Reihe eine
> Partialsumme [mm]A_{n}[/mm] nehme und gucke, wohin die konvergiert,
> und dann die Partialsumme [mm]A_{n+1}[/mm] nehme, und die gegen
> denselben Wert konvergiert, dann konvergiert die gesamte
> Reihe.
Nein ! Es war von den konvergenten Teilfolgen [mm] (A_{2n}) [/mm] und [mm] (A_{2n+1}) [/mm] die Rede !
FRED
>
>
> Danke auch dir :)
|
|
|
|
