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| Aufgabe | Wann, wenn überhaupt, ist folgende Reihe mit [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergent?
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}(x-1)^n$ [/mm] |
Ich habe ein wenig Probleme mit dieser Aufgabe. Mein bisheriger Ansatz:
Es gibt vier Fälle:
1. Für $x=2$ ist zweiter Faktor irrelevant.
2. Für $x=1$ ist die Reihe Null, also nicht konvergent.
3. Für $x=0$ ist die Reihe alternierend, Konvergenz hängt von 1. ab.
4. Für [mm] $x=\pm\infty$ [/mm] wächst zweiter Faktor schneller als erster Faktor und dieser ist nicht beschränkt, daher ist die Reihe in diesem Fall nicht konvergent.
Interessant für die weitere Betrachtung ist (erstmal) nur Fall 1. Also die Frage, ob die Reihe bestehend aus dem ersten Faktor konvergent ist:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}$
[/mm]
Hier fällt mir auf, dass der Zähler schneller wächst, als der Nenner, da ja das Wachstum im Nenner durch die Wurzel beschränkt ist und im Zähler nicht. Aus dieser Überlegung heraus wird die Rest-Reihe nicht unendlich klein und nach dem Cauchy-Kriterium wäre diese Reihe also nicht konvergent (und daher auch Fall 3).
Mein Problem ist nun: Wie beweis ich das? Oder reicht es hier aus, es so oder ähnlich zu schreiben? Oder ist mein Ansatz gar gänzlich falsch?
Liebe Grüße und schönes neues Jahr,
Alex.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 03.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wann, wenn überhaupt, ist folgende Reihe mit [mm]x\in\IR[/mm]
> konvergent?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}(x-1)^n[/mm]
> Ich habe ein wenig Probleme mit dieser Aufgabe. Mein
> bisheriger Ansatz:
>
> Es gibt vier Fälle:
> 1. Für [mm]x=2[/mm] ist zweiter Faktor irrelevant.
> 2. Für [mm]x=1[/mm] ist die Reihe Null, also nicht konvergent.
> 3. Für [mm]x=0[/mm] ist die Reihe alternierend, Konvergenz hängt
> von 1. ab.
> 4. Für [mm]x=\pm\infty[/mm] wächst zweiter Faktor schneller als
> erster Faktor und dieser ist nicht beschränkt, daher ist
> die Reihe in diesem Fall nicht konvergent.
>
> Interessant für die weitere Betrachtung ist (erstmal) nur
> Fall 1. Also die Frage, ob die Reihe bestehend aus dem
> ersten Faktor konvergent ist:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}[/mm]
Forme mal um:
[mm] \frac{7^{n}}{\sqrt{4^{n}}}\cdot(x-1)^{n}
[/mm]
[mm] =\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{n}
[/mm]
Nun bedenke, dass die geometrische Reihe [mm] \sum\limits_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] genau dann konvergiert, wenn |q|<1
Hier muss also gelten [mm] \left|\frac{7(x-1)}{2}\right|<1
[/mm]
Damit kannst du dir das "Herumstochern" ersparen.
Bedenke aber, dass deine Summe erst bei n=1 beginnt, also
[mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{n}
[/mm]
[mm] =\underbrace{-\overbrace{\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{\red{0}}}^{=1}+\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{\red{0}}}_{=0}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{n}
[/mm]
[mm] =-1+\sum\limits_{n=\red{0}}^{\infty}\left(\frac{7(x-1)}{2}\right)^{n}
[/mm]
>
> Hier fällt mir auf, dass der Zähler schneller wächst,
> als der Nenner, da ja das Wachstum im Nenner durch die
> Wurzel beschränkt ist und im Zähler nicht. Aus dieser
> Überlegung heraus wird die Rest-Reihe nicht unendlich
> klein und nach dem Cauchy-Kriterium wäre diese Reihe also
> nicht konvergent (und daher auch Fall 3).
>
> Mein Problem ist nun: Wie beweis ich das? Oder reicht es
> hier aus, es so oder ähnlich zu schreiben? Oder ist mein
> Ansatz gar gänzlich falsch?
>
> Liebe Grüße und schönes neues Jahr,
> Alex.
Marius
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Hallo Marius,
wie wird denn aus [mm] $\sqrt{4n^n}$ [/mm] das [mm] $2^n$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Fr 03.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> wie wird denn aus [mm]\sqrt{4n^n}[/mm] das [mm]2^n[/mm]?
Oh, ich hatte [mm] \sqrt{4^{n}} [/mm] gelesen.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Marius
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Hallo,
> Wann, wenn überhaupt, ist folgende Reihe mit [mm]x\in\IR[/mm]
> konvergent?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}(x-1)^n[/mm]
> Ich habe ein wenig Probleme mit dieser Aufgabe. Mein
> bisheriger Ansatz:
>
> Es gibt vier Fälle:
Nein!
> 1. Für [mm]x=2[/mm] ist zweiter Faktor irrelevant.
> 2. Für [mm]x=1[/mm] ist die Reihe Null, also nicht konvergent.
> 3. Für [mm]x=0[/mm] ist die Reihe alternierend, Konvergenz hängt
> von 1. ab.
> 4. Für [mm]x=\pm\infty[/mm] wächst zweiter Faktor schneller als
> erster Faktor und dieser ist nicht beschränkt, daher ist
> die Reihe in diesem Fall nicht konvergent.
>
> Interessant für die weitere Betrachtung ist (erstmal) nur
> Fall 1. Also die Frage, ob die Reihe bestehend aus dem
> ersten Faktor konvergent ist:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}[/mm]
>
> Hier fällt mir auf, dass der Zähler schneller wächst,
> als der Nenner, da ja das Wachstum im Nenner durch die
> Wurzel beschränkt ist und im Zähler nicht. Aus dieser
> Überlegung heraus wird die Rest-Reihe nicht unendlich
> klein und nach dem Cauchy-Kriterium wäre diese Reihe also
> nicht konvergent (und daher auch Fall 3).
>
> Mein Problem ist nun: Wie beweis ich das? Oder reicht es
> hier aus, es so oder ähnlich zu schreiben? Oder ist mein
> Ansatz gar gänzlich falsch?
Bemühe das Wurzelkriterium bzw. berechne den Konvergenzradius [mm]R[/mm] der gegebenen Potenzreihe gem. [mm]R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{7^n}{\sqrt{4n^n}}}}[/mm]
Es wird [mm]R=\infty[/mm] herauskommen, so dass die gegebene Potenzreihe für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergent ist.
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> Liebe Grüße und schönes neues Jahr,
> Alex.
Gruß
schachuzipus
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