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Forum "Fourier-Transformation" - Konvergenz der Fourierreihe
Konvergenz der Fourierreihe < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz der Fourierreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 So 17.02.2013
Autor: Robi333

Aufgabe
Geg. ist die period. Fkt.
f(x)= |x| , x e [-0,5;0,5] ; f(x)=f(x+1); x e R
a) Skizze für -3<x<3
b) Berechne die Fourierreihe
c) FÜR WELCHE x e R KONVERGIERT DIE REIHE GEGEN f(x) - Begründung

Hallo,

die grundsätzliche Bildung der Reihe kommt bei mir leider etwas ins Stocken, wenn ich die Fallunterscheidungen für gerade und ungerade k in einer Formel zum Ausdruck bringen muss, um die entgültige Reihe zu notieren.
Was mich jedoch viel mehr interessiert, ist, wie ich Aufgabe c) bewältigen kann. Mir ist klar, was Konvergenz bedeutet (die Reihe kommt der geg. Funktion nahe), jedoch weiß ich nicht, mit welchem Ansatz (und demnach Begründung) ich die gesuchten x finden soll.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz der Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 So 17.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Geg. ist die period. Fkt.
>  f(x)= |x| , x e [-0,5;0,5] ; f(x)=f(x+1); x e R
>  a) Skizze für -3<x<3
>  b) Berechne die Fourierreihe
>  c) FÜR WELCHE x e R KONVERGIERT DIE REIHE GEGEN f(x) -
> Begründung



> die grundsätzliche Bildung der Reihe kommt bei mir leider
> etwas ins Stocken, wenn ich die Fallunterscheidungen für
> gerade und ungerade k in einer Formel zum Ausdruck bringen
> muss, um die entgültige Reihe zu notieren.

Wenn du dazu Hilfe benötigst, poste deine bisherigen Zwischenergebnisse.


>  Was mich jedoch viel mehr interessiert, ist, wie ich
> Aufgabe c) bewältigen kann. Mir ist klar, was Konvergenz
> bedeutet (die Reihe kommt der geg. Funktion nahe), jedoch
> weiß ich nicht, mit welchem Ansatz (und demnach
> Begründung) ich die gesuchten x finden soll.

Es gibt da eine Reihe von Sätzen, die ihr auch in der Vorlesung gehabt haben dürftet. Mit denen sind all diese Aufgaben der Form "Konvergiert die Fourierreihe punktweise / gleichmäßig usw." zu bearbeiten. Es ist fast nichts zu rechnen bei diesen Aufgaben.

Siehe z.B. []Konv. von Fourierreihen

In der Aufgabe ist nicht näher spezifiziert, was für Konvergenz gemeint ist. Am naheliegendsten ist punktweise Konvergenz.

----

Ein Satz sagt: Überall dort, wo die Funktion f(x) stetig ist, konvergiert ihre Fourierreihe punktweise gegen f.

Da deine periodische Funktion sogar überall stetig ist, konvergiert ihre Fourierreihe überall punktweise gegen f.

----

Ein weiterer Satz sagt: Ist D die Menge der Punkte, wo f differenzierbar ist, so konvergiert die Fourierreihe von f auf allen kompakten Teilintervallen von D gleichmäßig gegen f.

Deine Funktion f ist nicht überall differenzierbar, genau genommen nicht an den Stellen ...,-1,0,1,2,.... und ...,-0.5, 0.5, 1.5, ....

----

Der dritte Satz sagt: Ist $f$ eine [mm] L^2-Funktion [/mm] (also quadratintegrierbar) auf [-0.5,0.5] (also nur auf einer Periode), dann konvergiert die Fourierreihe von f in L2 gegen f.

Das trifft bei dir ebenfalls zu. Das liegt daran, dass deine Funktion $f$ stetig und somit auf [-0.5,0.5] beschränkt ist. Solche Funktionen sind sicher quadratintegrierbar.


Viele Grüße,
Stefan</x<3


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