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Konvergenz 6: reihen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 So 17.02.2013
Autor: Tyson

Aufgabe
Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich feststecke:
Welche der folgenden Reihen konvergieren?

[mm] \summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}} [/mm]


Ich hab dazu eine Majorante gefunden:

[mm] \bruch{1}{k^n} [/mm]

Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.

nicht gestellt

        
Bezug
Konvergenz 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 17.02.2013
Autor: abakus


> Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich
> feststecke:
>  Welche der folgenden Reihen konvergieren?
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>  
>
> Ich hab dazu eine Majorante gefunden:
>  
> [mm]\bruch{1}{k^n}[/mm]

So lange du über n nicht näheres sagst, kann das eine Majorante oder eine Minorante sein. Mit n=2 kannst du etwas anfangen.
Zeige, dass [mm]\bruch{1}{k^2}> \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm] gilt.
Gruß Abakus



>  
> Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.
>  nicht gestellt


Bezug
                
Bezug
Konvergenz 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 So 17.02.2013
Autor: Tyson


>
> > Leute wieder eine Konvergenz Aufgabe bei der ich
> > feststecke:
>  >  Welche der folgenden Reihen konvergieren?
>  >  
> > [mm]\summe_{k=1}^{unendlich } \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Ich hab dazu eine Majorante gefunden:
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{k^n}[/mm]
>  So lange du über n nicht näheres sagst, kann das eine
> Majorante oder eine Minorante sein. Mit n=2 kannst du etwas
> anfangen.
>  Zeige, dass [mm]\bruch{1}{k^2}> \bruch{1}{1+k+k^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
> gilt.
>  Gruß Abakus
>  
>
>
> >  

> > Aber ich weiss nicht wie ich weiter vorgehen soll.
>  >  nicht gestellt
>  

[mm] 1+k+k^{5/2} -k^2 [/mm] > 0

So  in etwa?

Aber wie gehe ich weiter vor?


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 So 17.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> [mm]1+k+k^{5/2} -k^2[/mm] > 0
>
> So  in etwa?

Ja.

  
Mach' es nicht so kompliziert.
Du weißt: Für $n > m$ und $x > 1$ gilt

[mm] $x^{n} [/mm] > [mm] x^{m}$. [/mm]


Mach dir das klar. Links wird mehr multipliziert als rechts, und mit jeder Multiplikation wird der Term größer. Das muss in einer Klausur nicht begründet werden.

Damit gilt

[mm] $k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$ [/mm]

und daher erst recht

$1 + k + [mm] k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$. [/mm]



Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 So 17.02.2013
Autor: Tyson


> Hallo,
>  
>
> > [mm]1+k+k^{5/2} -k^2[/mm] > 0
> >
> > So  in etwa?
>  
> Ja.
>  
>
> Mach' es nicht so kompliziert.
>  Du weißt: Für [mm]n > m[/mm] und [mm]x > 1[/mm] gilt
>  
> [mm]x^{n} > x^{m}[/mm].
>  
>
> Mach dir das klar. Links wird mehr multipliziert als
> rechts, und mit jeder Multiplikation wird der Term
> größer. Das muss in einer Klausur nicht begründet
> werden.
>  
> Damit gilt
>  
> [mm]k^{5/2} > k^2[/mm]
>  
> und daher erst recht
>  
> [mm]1 + k + k^{5/2} > k^2[/mm].
>  
>
>
> Viele Grüße,
>  Stefan


Aha ok das wars schon oder wie?

Aber eine sache müsst ihr mir erklären warum haben wir für n=2 genommen?

Warum nicht 3 oder 4?
Woher weiss ich was ich nehmen soll?


Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 So 17.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Aha ok das wars schon oder wie?

Ja.

> Aber eine sache müsst ihr mir erklären warum haben wir
> für n=2 genommen?
>  
> Warum nicht 3 oder 4?
>  Woher weiss ich was ich nehmen soll?


Wenn du eine Reihe hast, musst du immer als erstes entscheiden wie du die Konvergenz / Divergenz nachweisen willst. Als erstes sollte man immer überprüfen, ob die Reihenglieder eine Nullfolge bilden (notwendiges Kriterium).

Danach guckt man, ob Exponentialterme / Fakultäten drin vorkommen --> Quotienten/Wurzelkriterium.

Stehen Terme der Form [mm] (-1)^{n} [/mm] drin, Leibniz-Kriterium.

Bestehen die Reihenglieder nur aus Polynomen in der Laufvariable (oder Sachen, die noch langsamer wachsen wie Logarithmus), dann muss meistens das Minoranten oder Majorantenkriterium ran.

Du musst dann zunächst überprüfen, ob du Konvergenz oder Divergenz nachweisen möchtest. Dazu schaue dir die Reihenglieder an und gucke, ob sie schneller oder langsamer als [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] fallen. Wenn sie schneller fallen, dann liegt Konvergenz vor und es muss mit dem Majorantenkriterium nach oben abgeschätzt werden.

Bei dir lag vor:

[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}}$. [/mm]

Wir wollen nach oben durch etwas abschätzen, was immer noch konvergiert (und dann das Majorantenkriterium benutzen). Dazu:

[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}} \le \frac{1}{k^\alpha}$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] > 1$.

Wir können zum Beispiel [mm] $\alpha [/mm] = 2$ wählen, dann klappt das mit dem Abschätzen, weil [mm] $k^{5/2} [/mm] > [mm] k^2$ [/mm] ist. Wir hätten NICHT [mm] $\alpha [/mm] = 3$ oder [mm] $\alpha [/mm] = 4$ wählen können, weil wir dann gilt:

[mm] $\frac{1}{1+k+k^{5/2}} [/mm] > [mm] \frac{1}{k^3}$ [/mm]

Also genau die falsche Richtung.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz 6: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 17.02.2013
Autor: Tyson

danke leute.

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