Konvergente Folge von Maßen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Mo 07.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\mu_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$. [/mm] Für jedes [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] existiere der Grenzwert [mm] $\mu(A):=\lim_{n\to\infty}\mu_n(A)$.
[/mm]
Man zeige: [mm] $\mu$ [/mm] ist ein Maß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$.
[/mm]
Hinweis: Zu zeigen ist insbesondere die [mm] $\emptyset$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $\mu$. [/mm] |
Hallo zusammen,
an dieser so harmlos aussehenden Aufgabe 1.3.3 aus dem Wahrscheinlichkeitstheorie-Buch von Klenke scheitere ich leider.
Ich nehme mal an, die Aufgabenstellung ist so gemeint, dass der mit [mm] $\mu(A)$ [/mm] bezeichnete Grenzwert ein Grenzwert im engeren Sinne ist, d.h. eine reelle Zahl und nicht [mm] $+\infty$.
[/mm]
Kein Problem ist der Nachweis, dass es sich bei [mm] $\mu$ [/mm] um einen Inhalt handelt, dass also [mm] $\mu(\emptyset)=0$ [/mm] gilt und [mm] $\mu$ [/mm] (endlich) additiv ist.
Um die Sigma-Additivität von [mm] $\mu$ [/mm] nachzuweisen, würde es wegen der Endlichkeit von [mm] $\mu$ [/mm] genügen, die [mm] $\emptyset$-Stetigkeit [/mm] von [mm] $\mu$ [/mm] nachzuweisen.
Sei also etwa [mm] $(A_k)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Folge von Mengen [mm] $A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $A_k\downarrow\emptyset$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lim_{k\to\infty}\mu(A_k)=0$ [/mm] (oder äquivalent: Für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] mit [mm] $\mu(A_k)<\varepsilon$).
[/mm]
Durch ein Beispiel ist mir klar geworden, dass es nicht genügt, die Konvergenz von [mm] $(\mu_n(A))_{n\in\IN}$ [/mm] nur für Mengen der Form [mm] $A=A_k$ [/mm] oder [mm] $A=A_k\setminus A_{k+1}$ [/mm] anzuwenden.
Leider sehe ich kein allgemeines Prinzip, auf welche Menge(n) $A$ ich diese Konvergenz-Voraussetzung sinnvollerweise anwenden sollte.
Übrigens steht die Aufgabe im Kapitel über Fortsetzung von Maßen. Einen Zusammenhang zwischen Aufgabe und diesem Kapitel habe ich aber noch nicht gefunden.
Ich freue mich über Hilfe!
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Mo 07.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Hallo Tobias,
die genannte "Aufgabe" ist doch der Satz von Vitali-Hahn-Saks, wenn ich keine Tomaten auf den Augen habe.
Schau mal hier
https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/gerlach/ss12/masssem/roman-kohls-arbeit.pdf
Seite 10.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Mo 07.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort!
In der Tat entspricht die Aufgabe genau dem genannten Satz. Da hätte ich ja noch lange an dieser Aufgabe sitzen können...
Im Klenke steht diese Aufgabe als normale Übungsaufgabe ohne besondere Kennzeichnung. Das Maßintegral steht auch noch nicht zur Verfügung.
Ich werde den Autor per Mail auf die Schwierigkeit der Aufgabe hinweisen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mo 07.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
die Übungsaufgabe ist doch elementar lösbar (wenn auch meiner Meinung nach nicht einfach). Der 10-Seiten-Beweis aus dem von Fred genannten Link ist somit für diese Aussage nicht nötig. Unter dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Vitali-Hahn-Saks wird üblicherweise eine allgemeinere Aussage als die aus Freds Link verstanden. Professor Klenke, der Autor des besagten Wahrscheinlichkeitstheorie-Buches war so freundlich, mir eine recht kurze Lösung zu schicken.
Viele Grüße
Tobias
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