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Konstante Funktion: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:16 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
a)

Bestimmen Sie die Menge aller Punkte, in denen die folgende Funktion stetig ist.

[mm] $f:\IR\to\IR, f(x)=\begin{cases} \frac{x\left( x-1 \right)}{x^2-1}, & \mbox{für } x\not\in \{0,1\} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für }x=-1\end{cases} [/mm]

b)

[mm] $f:\left[ 0,1 \right]\to\IR$ [/mm] stetig und es gelte [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in\left[ 0,1 \right]:f\left( x \right)=f\left( x^2 \right)$ [/mm] Zeigen Sie, dass f konstant ist.

Hallo Freunde der Mathematik,

Aufgabe a) habe ich soweit beantworten können. Zur b) kann ich mich nur selbst fragen: Habe ich jetzt das Konzept von konstanten Funktionen nicht begriffen oder ist handelt es sich in der Aufgabe b) um irgendeine Abbbildung f mit besagten Eigenschaften?

Für mich ist eine konstante Funktion folgendermaßen definert:$f:X [mm] \to [/mm] Y, [mm] f\left( x \right)=c \in [/mm] Y$ Also etwas, was nicht von x abhängt. Gesetzt dem Fall f bezieht sich auf die Aufgabe a), so wüsste ich nicht wie ich ebenjene lösen sollte.

Ich muss dazu sagen, dass ich vergangene Woche krank war und dabei bin, den Stoff nachzuholen.

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe im Voraus.

Liebe Grüße

Christoph

        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:46 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> a)
>  
> Bestimmen Sie die Menge aller Punkte, in denen die folgende
> Funktion stetig ist.
>  
> [mm]$f:\IR\to\IR, f(x)=\begin{cases} \frac{x\left( x-1 \right)}{x^2-1}, & \mbox{für } x\not\in \{0,1\} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{für } x=1 \\ 0, & \mbox{für }x=-1\end{cases}[/mm]
>  
> b)
>
> [mm]f:\left[ 0,1 \right]\to\IR[/mm] stetig und es gelte [mm]\forall x \in\left[ 0,1 \right]:f\left( x \right)=f\left( x^2 \right)[/mm]
> Zeigen Sie, dass f konstant ist.
>  Hallo Freunde der Mathematik,

Hallo Mister Quitte, ich bins,  der Fred.

>  
> Aufgabe a) habe ich soweit beantworten können. Zur b) kann
> ich mich nur selbst fragen: Habe ich jetzt das Konzept von
> konstanten Funktionen nicht begriffen oder ist handelt es
> sich in der Aufgabe b) um irgendeine Abbbildung f mit
> besagten Eigenschaften?

Allein aus der  Stetigkeit von f und der Eigenschaft [mm] f(x)=f(x^2) [/mm]  soll gefolgert werden,  dass f konstant ist.


>
> Für mich ist eine konstante Funktion folgendermaßen
> definert:[mm]f:X \to Y, f\left( x \right)=c \in Y[/mm] Also etwas,
> was nicht von x abhängt.

So ist es.


> Gesetzt dem Fall f bezieht sich
> auf die Aufgabe a), so wüsste ich nicht wie ich ebenjene
> lösen sollte.

b) hat mit a) nix zu tun.


>  
> Ich muss dazu sagen, dass ich vergangene Woche krank war
> und dabei bin, den Stoff nachzuholen.
>  
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe im Voraus.
>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph  


Bezug
                
Bezug
Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:42 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Fred,

danke für deine Antwort, das macht es, denke ich, um einiges einiges klarer. Sei $f [mm] \left( x \right)=f \left( y=x^2 \right)=c, [/mm] c,x,y [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist f per Definitionem konstant.

Kannst du das so bestätigen?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:38 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> danke für deine Antwort, das macht es, denke ich, um
> einiges einiges klarer. Sei [mm]f \left( x \right)=f \left( y=x^2 \right)=c, c,x,y \in \IR[/mm].
> Dann ist f per Definitionem konstant.
>  
> Kannst du das so bestätigen?

Nein, das kann ich nicht. Mit Verlaub: gezeigt hast Du nichts !

Sei zunächst $x [mm] \in [/mm] [0,1)$. Dann ist

[mm] $f(x)=f(x^2)=f((x^2)^2)=f(x^4)= [/mm] ......

Zeige nun mit Induktion:

(*) [mm] $f(x)=f(x^{2^n}) [/mm] $  für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm]

Da 0 [mm] \le [/mm] x <1 ist, ist [mm] (x^{2^n}) [/mm] eine Nullfolge. Da f stetig ist, folgt [mm] $f(x^{2^n}) \to [/mm] f(0)$. Aus (*) bekommen wir dann:

   $f(x)=f(0)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1)$.

Zeige nun Du, dass auch f(1)=f(0) ist.


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                
Bezug
Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:38 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

zunächst war mir klar, dass Beschränkungen auch konvergente Folgen beinhalten. Ich wusste allerdings nicht, dass man sich dann eine passende Folge einfach so definieren kann.

Könnte ich dann auch sagen [mm] $f\left( x^2^n+1 \right)\to f\left( 1 \right)$? [/mm]

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> zunächst war mir klar, dass Beschränkungen auch
> konvergente Folgen beinhalten.

Was meinst Du damit ?


> Ich wusste allerdings nicht,
> dass man sich dann eine passende Folge einfach so
> definieren kann.

Warum denn nicht ?


>  
> Könnte ich dann auch sagen [mm]f\left( x^2^n+1 \right)\to f\left( 1 \right)[/mm]?

Nein. 1. Nicht [mm] x^{2n}, [/mm] sondern [mm] x^{2^n}. [/mm]

2. [mm] x^{2^n}+1 [/mm] liegt für x>0 nicht im Definitionsbereich von f (der =[0,1] ist).

f ist stetig , also ist f(1)= [mm] \lim_{x \to 1-0}f(x). [/mm]

Kommst Du nun klar ?

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph  


Bezug
                                                
Bezug
Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sagst du [mm] $\limes_{x\rightarrow\ 0} f\left(x^{2^n}\right)= f\left( 0 \right)= f\left( 1 \right)=\limes_{x\rightarrow\ 1} f\left(x^{2^n}\right)$ [/mm] Ist das richtig?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sagst du
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} f\left(x^{2^n}\right)= f\left( 0 \right)= f\left( 1 \right)=\limes_{x\rightarrow\ 1} f\left(x^{2^n}\right)[/mm]
> Ist das richtig?

Nein. Wir wissen:

1. f(x)=f(0) für alle x [mm] \in [/mm] [0,1)

und

2. f(1)= [mm] \lim_{x \to 1-0} [/mm] f(x)

für x<1 ist f(x)=f(0).

Wie fällt dann f(1) aus ?

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                
Bezug
Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte


> Nein. Wir wissen:
>  
> 1. f(x)=f(0) für alle x [mm]\in[/mm] [0,1)
>  
> und
>
> 2. f(1)= [mm]\lim_{x \to 1-0}[/mm] f(x)
>  
> für x<1 ist f(x)=f(0).
>  
> Wie fällt dann f(1) aus ?

Hallo fred,

f(1) geht gegen f(0) würde ich sagen.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                                        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> > Nein. Wir wissen:
>  >  
> > 1. f(x)=f(0) für alle x [mm]\in[/mm] [0,1)
>  >  
> > und
> >
> > 2. f(1)= [mm]\lim_{x \to 1-0}[/mm] f(x)
>  >  
> > für x<1 ist f(x)=f(0).
>  >  
> > Wie fällt dann f(1) aus ?
>  Hallo fred,
>  
> f(1) geht gegen f(0) würde ich sagen.

So, würdest Du ?
Du kommst mir vor wie ein 10.000 Meter-Läufer, der einen Zentimeter vorm Ziel umdreht ! Ich hoffe, ich habe Dich damit nicht beleidigt.

Nochmal: f ist stetig in 1, also ist

(**) f(1)= [mm]\lim_{x \to 1-0}[/mm] f(x)

In [mm] \lim_{x \to 1-0} [/mm] f(x) bedeutet doch $x [mm] \to [/mm] 1-0$, dass nur x-Werte <1 betrachtet werden. Für solche Werte ist aber f(x)=f(0).

Daher  f(1)= [mm]\lim_{x \to 1-0}[/mm] f(x)= [mm]\lim_{x \to 1-0}[/mm] f(0)=f(0).


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                                
Bezug
Konstante Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

ist das nicht der Einschnürungssatz den du hier verwendet hast? Dann hab ich es verstanden.

Außerdem hast du in deinem ersten Schritt gesagt, dass der Induktionsanfang wäre. Wie sieht der Induktionsschritt aus?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konstante Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Mo 03.12.2018
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> ist das nicht der Einschnürungssatz den du hier verwendet
> hast?


Nein.

> Dann hab ich es verstanden.

Dann hast Du es immer noch nicht verstanden.


>  
> Außerdem hast du in deinem ersten Schritt gesagt, dass der
> Induktionsanfang wäre.


> Was ist los ?

>  Wie sieht der Induktionsschritt
> aus?
>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph

Weil ich ein so überaus lieber und netter Kerl bin mache ich Dir die Aufgabe vor.

Sei zunächst $x [mm] \in [/mm] [0,1)$. Ich behaupte:  

(*) $ [mm] f(x)=f(x^{2^n}) [/mm] $  für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $.

Beweis (induktiv):

Induktionsanfang: für n=1 ist die Sache klar, denn nach Vor. ist [mm] $f(x)=f(x^2)$. [/mm]

Induktionsvoraussetzung: für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] sei $ [mm] f(x)=f(x^{2^n}) [/mm] $ .

Induktionsschritt: $ [mm] f(x^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] f(x^{2^n \cdot 2})=f((x^{2^n})^2)= f(x^{2^n})=f(x)$. [/mm]

(Das vorletzte "=" gilt wegen [mm] f(t)=f(t^2) [/mm] und das letzte "=" gilt nach Induktionsvor.)

Damit ist(*) gezeigt.

Weil [mm] ((x^{2^n})) [/mm] eine Nullfolge ist und f stetig ist, bekommen wir

$f(0)= [mm] \lim_{n \to \infty}f(x^{2^n})$. [/mm] Wegen (*) bedeutet dies:

$f(0)=f(x)$.

Setzen wir $c:=f(0)$, so haben wir das

FAZIT: f(x)=c  für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1)$.

Nun bleibt noch zu zeigen: f(1)=c.

Das ergibt sich wie folgt:

$f(1)= [mm] \lim_{x \to 1-0}f(x)= \lim_{x \to 1-0}c=c.$ [/mm]








Bezug
                                                                                                
Bezug
Konstante Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Mo 03.12.2018
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

danke für deine Mühen. Ich werde mir die Aufgabe nochmal mit einem Kommilitonen durchgehen.

Ich würde mich eher mit einem Marathonläufer vergleichen, der zwar hinfällt, aber immer wieder aufzusteht, um sein bestes zu geben.

Einen schönen Montag wünscht dir noch

Christoph

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