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| Aufgabe | | Ermitteln Sie [mm] z_6! [/mm] |
Gegeben:
[mm] z_2=2\*(\cos(120°)+i\*\sin(120°))
[/mm]
Gesucht:
[mm] z_6=\wurzel{z_2+i}
[/mm]
Hier mein Lösungsweg:
[mm] z_2 [/mm] in kartesische Form bringen:
[mm] z_2=-1+\wurzel{3}i
[/mm]
[mm] z_6=\wurzel{-1+(1+\wurzel{3})i}
[/mm]
Wie zieht man in der kartesischen Form die Wurzel?
In der trigonomischen Form weiss ich es aber es hilft mir ja nicht weiter... :-(
Da ich gerade einmal frage, wie zieht man in der eulerschen Form die Wurzel?
BSP:
[mm] z_8=\wurzel{3\*e^{i*240}}
[/mm]
Vielen Dank für die Antwort im Voraus!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß, Marty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marty,
ich kann Deine Frage gut verstehen, muss Dir aber leider sagen, dass es keine direkte Methode gibt, um die Wurzel aus einer komplexen Zahl zu ziehen, die in kartesischen Koordinaten angegeben ist. Ich kenne nur den Weg über die Darstellung in Polarkoordinaten und hierbei ist es dann so, dass die Wurzel sich über die Wurzel des Betrages ergibt, wobei der Winkel halbiert wird. Allgemeiner ist dieser Zusamenhang als Moivresche Formel bekannt. Das Erheben einer komplexen Zahl z in ihre n-te Potenz geschieht über
$$ [mm] z^n [/mm] = [mm] |z|^n (\cos [/mm] n [mm] \varphi [/mm] + i [mm] \sin [/mm] n [mm] \varphi) [/mm] = [mm] |z|^n \exp^{in\varphi} \, [/mm] . $$
Mit [mm] n = \bruch{1}{2} [/mm] ziehst Du die Wurzel, das Ergebnis ist jedoch nicht mehr eindeutig, sondern Du erhälst 2 verschiedene Lösungen
$$ [mm] w_k [/mm] = [mm] \wurzel{|z|} (\cos (\bruch{\varphi}{2} [/mm] + k [mm] \pi) [/mm] + i [mm] \sin (\bruch{\varphi}{2} [/mm] + k [mm] \pi)) [/mm] $$
wobei k die beiden Werte 0 und 1 annehmen kann. Die beiden Ergebnisse liegen also um 180 Grad auseinander. Das Ganze lässt sich verallgemeinern. Bei einer dritten Wurzel erhält man drei Ergebnisse, wobei die Länge der komplexen Zahl durch die dritte Wurzel gegeben ist, der ursprüngliche Winkel wird gedrittelt und 2 weitere Lösungen liegen um jeweils 120 Grad verschoben dazu. Wie es bei der vierten Wurzel aussieht, kannst Du Dir nach dieser Schilderung selbst vorstellen.
Viele Grüße,
Infinit
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Ich danke dir vielmals für deine Mühe und Antwort!
Ich hatte erst den Fehler gemacht, die Aufgabe ohne "+i" zu rechnen und hatte dort deinen und mir bekannten Lösungsweg angewandt.
Dann fiel mir auf, dass dort ja [mm] \wurzel{z_2+i} [/mm] steht und ich [mm] z_2 [/mm] in kartesische Form umwandeln muss, da es ja eine Addition ist...
Aber was ist wenn ich es in der trigonomischen Form lasse und einfach das i hinzu addiere, so dass dort [mm] z_6=\wurzel{2\*(\cos120°)+i^2\*sin(120°)} [/mm] steht?
Dann wäre eine einfache Lösung möglich aber würde ja den Rechenregeln für komplexe Zahlen nicht entsprechen... :-(
Na ja, hatte mir schon fast gedacht, dass der Prof. dort einen Klops einbaut...
Ist aber nur die kleine Teilaufgabe einer großen Übungsklausur und damit nicht so schlimm...
Gruß, Marty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marty!
> Aber was ist wenn ich es in der trigonomischen Form lasse
> und einfach das i hinzu addiere, so dass dort
> [mm]z_6=\wurzel{2\*(\cos120°)+i^2\*sin(120°)}[/mm] steht?
> Dann wäre eine einfache Lösung möglich aber würde ja den
> Rechenregeln für komplexe Zahlen nicht entsprechen... :-(
Das entspricht überhaupt keinen Rechenregeln, zumal Du hier einmal "Äpfel mit Birnen" vergleichst.
[mm] $2*\left[\cos(120°)+i*\sin(120°)\right]+i [/mm] \ = \ [mm] 2*\left[\cos(120°)+i*\sin(120°)\right]+1*\left[\cos(90°)+i*\sin(90°)\right]$
[/mm]
Und das lässt sich so ohne weiteres nicht zusammenfassen. Von daher ist der oben beschriebene (Um)Weg über die kartesische Form am sinnvollsten.
Gruß
Loddar
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