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Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Sa 17.01.2009
Autor: Boki87

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Es geht um den Teil a:

meine erste Überlegung war, dass ich die Grenzen von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] legen kann wegen [mm] f(x+2\pi)=f(x) [/mm]

[mm] c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{Cosh(x) e^{-inx}dx} [/mm]

Anstelle von Cosh(x) kann ich ja schreiben [mm] \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm]

[mm] c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} e^{-inx}dx} [/mm]

Wenn ich das integrier krieg ich:

[mm] c_{n}=\bruch{1}{4\pi}[\bruch{e^{x(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{x(-1-in)}}{-1-in}]_{0}^{2\pi} [/mm]


[mm] c_{n}=\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{2\pi(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{2\pi(-1-in)}}{-1-in}-\bruch{1}{1-in}-\bruch{1}{-1-in}) [/mm]

Stimmt das soweit?

Und wie kann ich nun weiter umformen um das [mm] c_{n} [/mm] in einer etwas schöneren Form in [mm] f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx} [/mm] einzusetzen?

Ich habe mir überlegt das es irgendeine Umformung sein muss die der eulerschen Formel zugrunde liegt, aber ich komm einfach nicht drauf.

Vielen Dank

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 17.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Boki87,


> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  Es geht um den Teil a:
>  
> meine erste Überlegung war, dass ich die Grenzen von 0 bis
> [mm]2\pi[/mm] legen kann wegen [mm]f(x+2\pi)=f(x)[/mm]


Dann hast Du keine Symmetrie.

Besser ist, daß Du das vorgegebene Intervall nimmst.


>  
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{Cosh(x) e^{-inx}dx}[/mm]
>  
> Anstelle von Cosh(x) kann ich ja schreiben
> [mm]\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}[/mm]
>  
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} e^{-inx}dx}[/mm]
>  
> Wenn ich das integrier krieg ich:
>  
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4\pi}[\bruch{e^{x(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{x(-1-in)}}{-1-in}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>  
>
> [mm]c_{n}=\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{2\pi(1-in)}}{1-in}+\bruch{e^{2\pi(-1-in)}}{-1-in}-\bruch{1}{1-in}-\bruch{1}{-1-in})[/mm]
>  
> Stimmt das soweit?
>  
> Und wie kann ich nun weiter umformen um das [mm]c_{n}[/mm] in einer
> etwas schöneren Form in
> [mm]f(x)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{inx}[/mm] einzusetzen?
>  
> Ich habe mir überlegt das es irgendeine Umformung sein muss
> die der eulerschen Formel zugrunde liegt, aber ich komm
> einfach nicht drauf.
>  
> Vielen Dank


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 So 18.01.2009
Autor: Boki87

Ok das habe ich jetzt gemacht, dann habe ich:

[mm] \bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}}{1-in}-\bruch{e^{-\pi(in+1)}}{1+in}-\bruch{e^{-\pi(-in+1)}}{1-in}+\bruch{e^{\pi(in+1)}}{1+in}) [/mm]

Wie kann ich denn nun weiter umformen?

Danke schön

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 So 18.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Boki87,

> Ok das habe ich jetzt gemacht, dann habe ich:
>  
> [mm]\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}}{1-in}-\bruch{e^{-\pi(in+1)}}{1+in}-\bruch{e^{-\pi(-in+1)}}{1-in}+\bruch{e^{\pi(in+1)}}{1+in})[/mm]
>  
> Wie kann ich denn nun weiter umformen?


Zunächst mache die Nenner rational.

Dann kannst Du noch etwas zusammenfassen.


>  
> Danke schön


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 So 18.01.2009
Autor: Boki87

Sorry aber ich komm trotzdem nicht weiter.

Ich habe nun stehen:

[mm] \bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}+ine^{\pi(-in+1)}-e^{-\pi(in+1)}+ine^{-\pi(in+1)}-e^{-\pi(-in+1)}-ine^{-\pi(-in+1)}+e^{\pi(in+1)}-ine^{\pi(in+1)}}{n^2+1}) [/mm]

Kann ich denn überhaupt noch weiter vereinfachen?

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 18.01.2009
Autor: MathePower

Hallo Boki97,

> Sorry aber ich komm trotzdem nicht weiter.
>  
> Ich habe nun stehen:
>  
> [mm]\bruch{1}{4\pi}(\bruch{e^{\pi(-in+1)}+ine^{\pi(-in+1)}-e^{-\pi(in+1)}+ine^{-\pi(in+1)}-e^{-\pi(-in+1)}-ine^{-\pi(-in+1)}+e^{\pi(in+1)}-ine^{\pi(in+1)}}{n^2+1})[/mm]
>  
> Kann ich denn überhaupt noch weiter vereinfachen?


Jetzt kannst Du die Summanden mit

[mm]e^{\pi\left(1-in\right)}[/mm] bzw. [mm]e^{-\pi\left(1+in\right)}[/mm]

zusammenfassen.

Desweitern gilt

[mm]e^{\pi\left(1-in\right)}=e^{\pi}*\cos\left(n\pi\right)[/mm]

bzw.

[mm]e^{-\pi\left(1-in\right)}=e^{-\pi}*\cos\left(n\pi\right)[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
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