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Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Sa 27.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Es soll im folgenden eine Fourier-Reihe gebildet werden.

Ich bin allerdings nicht sicher, ob ich hier im richtigen Forum/Unterforum gelandet bin???



Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe der Funktion

f(x) = x  [mm] (-\pi \le [/mm] x < [mm] \pi) [/mm]


Moin Moin,

ich habe hier (weiter unten) eine Frage zum Einheitskreis...

Also zunächst ist eine komplexe Fourierreihe definiert als

F f(x)  = [mm] \summe_{n=-\infty}^{+\infty} c_n*e^{inx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx} [/mm]

Hier hätte ich schon mal ne Frage: Was bedeutet F f(x) ???


1. [mm] c_n [/mm] bestimmen

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx} [/mm]

Wegen der Unstetigkeitsstelle bei [mm] \pi [/mm] muss das Integral aufgeteilt werden...

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{\pi}^{2\pi}{(x-2\pi) *e^{-inx} dx} [/mm]


f(x) = x  ist die Gerade durch (0/0), die bis  [mm] (\pi/\pi) [/mm] geht
g(x) = x - [mm] 2\pi [/mm] ist die Gerade, die bei [mm] (\pi/-\pi) [/mm] anfängt über [mm] (2\pi/0) [/mm] bis [mm] (3\pi/\pi) [/mm] geht... usw.

Aber wir betrachten ja nur das Intervall [mm] [0;2\pi]. [/mm]

Ich hoffe, das ist soweit richtig?!

Wir fassen zusammen
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{xe^{-inx} dx} +\bruch{1}{2\pi}*\integral_{\pi}^{2\pi}{-2\pi*e^{-inx} dx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm] - [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{e^{-inx} dx} [/mm]


Nun wird der erste Summand mit partieller Integration gebildet...

u = x    v' = [mm] e^{-inx} [/mm]

u' = 1   v = [mm] -\bruch{1}{in}*e^{-inx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[x*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx})] [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{1*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx}) dx} [/mm] - [mm] \integral_{\pi}^{2\pi}{e^{-i*n*x} dx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[x*(-\bruch{1}{in}*e^{-inx})] \vmat{ 0 \\ 2\pi } [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*[(+\bruch{1}{(in)^2}*e^{-inx}] \vmat{ 0 \\ 2\pi } [/mm] - [mm] [-\bruch{1}{in}*e^{-i*n*x}] \vmat{ \pi \\ 2\pi } [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*2\pi} [/mm] - 0) [mm] -(\bruch{1}{2\pi}*\bruch{1}{(in)^2}*e^{-in*2\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*\bruch{1}{(in)^2}*e^{-in*0}) [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*2\pi} [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{in}*e^{-in*\pi})) [/mm]


Jetzt wird gesagt, dass [mm] e^{-i*n*2\pi} [/mm]  = 1

und [mm] e^{-i*n*\pi} [/mm] = -1 sei. Und dies wird mit dem Einheitskreis begründet.

Aber wie hängt die e-Funktion bzw. diese e-Funktion mit dem Einheitskreis zusammen???

sin(x)  ok; cos(x)  ok; tan(x)  ok... aber [mm] e^x [/mm]  ???

Kann mir das mal jemand erklären???


Danke & Gruß!



        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 So 28.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also zunächst ist eine komplexe Fourierreihe definiert als
>
> F f(x)  = [mm]\summe_{n=-\infty}^{+\infty} c_n*e^{inx}[/mm]
>  
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]

Das ist interessant, woher hast du das?
Ich kenn das bisher nur als

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]
was auch dein späteres "Problem" mit dem Shift lösen würde… deine Funktion ist nämlich gerade im Bereich [mm] $-\pi \le [/mm] x [mm] \le \pi$ [/mm] definiert und muss dann gar nicht verschoben werden… ich schreibe "Problem" weil es eigentlich gar keins ist… dann kommt nämlich faktisch dasselbe raus.
  

> Hier hätte ich schon mal ne Frage: Was bedeutet F f(x)

F ist der Fourieroperator, die Klammern werden gern mal weggelassen, d.h. du erhälst die Fouriertransformierte von f durch Anwendung von F auf f, also faktisch $F(f)$

> Jetzt wird gesagt, dass [mm]e^{-i*n*2\pi}[/mm]  = 1
>
> und [mm]e^{-i*n*\pi}[/mm] = -1 sei. Und dies wird mit dem
> Einheitskreis begründet.
>  
> Aber wie hängt die e-Funktion bzw. diese e-Funktion mit
> dem Einheitskreis zusammen???
>
> sin(x)  ok; cos(x)  ok; tan(x)  ok... aber [mm]e^x[/mm]  ???
>  
> Kann mir das mal jemand erklären???

Nicht [mm] $e^x$ [/mm] sondern [mm] $e^{ix}$. [/mm]
Komplexe Zahlen können einerseits geschrieben werden als $z = x + iy$ aber auch als [mm] $z=re^{i\varphi}$ [/mm] wobei dann [mm] $r=\sqrt{x^2 + y^2}=|z|$ [/mm] der Betrag der Komplexen Zahl ist.

Man erkennt sofort, dass dann für alle Zahlen der Form [mm] $z=1*e^{i\varphi}$ [/mm] der Betrag der Zahl gleich 1 ist.

D.h. die Abbildung [mm] $\varphi \mapsto e^{i\varphi}$ [/mm] bildet also auf den Einheitskreis in den Komplexen Zahlen ab, insbesondere gilt also für jedes [mm] $\varphi \in \IR$ [/mm] dann $|z| = [mm] \left|e^{i\varphi}\right| [/mm] = 1$ und [mm] $\varphi$ [/mm] beschreibt den Winkel zwischen der reellen Achse und der komplexen Zahl.

Weiterhin gilt (siehe auch []hier) dann die eulersche Formel: [mm] ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\varphi}=\cos \left(\varphi\right)+\mathrm {i} \,\sin \left(\varphi\right)}$. [/mm] In dem Artikel siehst du auch eine Grafik, die das oben mit dem Winkel nochmal schön erklärt. Durch obige Identität, aber auch am Bild erkennt man dann eben sofort, dass gilt:
$1 = 1 + 0i = [mm] e^{i\cdot 0}$ [/mm] sowie $-1 = -1 + 0i = [mm] e^{-i\pi}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 So 28.10.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

zunächst zu deiner Frage...

>  
> Das ist interessant, woher hast du das?
>  Ich kenn das bisher nur als
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-inx} dx}[/mm]
>  
> was auch dein späteres "Problem" mit dem Shift lösen
> würde… deine Funktion ist nämlich gerade im Bereich
> [mm]-\pi \le x \le \pi[/mm] definiert und muss dann gar nicht
> verschoben werden… ich schreibe "Problem" weil es
> eigentlich gar keins ist… dann kommt nämlich faktisch
> dasselbe raus.

Äh, das habe ich aus einem youtube-Video:

https://www.youtube.com/watch?v=9JlfTbckvCg




Bezug
                        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 So 28.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Äh, das habe ich aus einem youtube-Video:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=9JlfTbckvCg

gut, dass du das gezeigt hast… du hast nämlich ein Verständnisproblem!
Dort wird nämlich nicht die Fouriertransformierte von deinem gegebenem f gebildet.

Gegeben ist die [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktion $f$, welche eingeschränkt auf das Intervall [mm] $[-\pi,\pi)$ [/mm] die Gestalt $f(x)=x$ hat, also in Formeln:
[mm] $f(x)\big|_{[-\pi,\pi)} [/mm] = x$ hat.

Und nun sollst du die Fouriertransformierte auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi)$ [/mm] bilden.

Dazu überlegst du dir, das f eingeschränkt auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] die Gestalt hat

[mm] $f(x)\big|_{[0,2\pi)} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & 0 \le x < \pi \\ x-2\pi, & \pi \le x < 2\pi \end{cases}$ [/mm]

Das erklärt auch, warum nachher die Integrale so aussehen, wie sie aussehen.
Nix mit Transformationen o.Ä.

Bei deiner Aufgabenstellung mit der Funktion

> f(x) = x  $ [mm] (-\pi \le [/mm] $ x < $ [mm] \pi) [/mm] $

könnte man denken, es wäre $f(x) = [mm] x1_{[-\pi,\pi)}$ [/mm] und damit wäre f nämlich Null für $x [mm] \ge \pi$. [/mm]

Wenn es dir natürlich klar ist, dass du ausschließlich [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktionen betrachtest, solltest du das trotzdem hinschreiben.
Das macht man korrekterweise zu Beginn auch so, kann man später aber verallgemeinern ;-)

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:34 So 28.10.2018
Autor: hase-hh

...
Bezug
                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 So 28.10.2018
Autor: hase-hh

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!


1. Ich berechne als erstes [mm] c_0 [/mm]

[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-in*0} dx} [/mm]  

[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*1 dx} [/mm]  

[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{2}*x^2] [/mm]   von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm]


[mm] c_0 [/mm] = 0


2. Ich berechne die [mm] c_n [/mm]


[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx} [/mm]  

Ich wähle für die partielle Integration

u = x       v' = [mm] e^{-inx} [/mm]

u' = 1      v = [mm] -\bruch{1}{in}*e^{-inx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}] [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx}) [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}] [/mm] - [mm] [(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]) [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n})) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}] [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(-\bruch{-\pi}{in}*(-1)^n)) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{-1*n^2}*e^{-inx}] [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(\bruch{\pi}{in}*(-1)^n)) [/mm] + [mm] [\bruch{1}{n^2}*e^{-inx}] [/mm]


[mm] c_n [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{-2*\pi}{in}*(-1)^n) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n^2}*e^{(-i*\pi)^n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*e^{-i*(-\pi))^n}) [/mm]

[mm] c_n [/mm] =  (- [mm] \bruch{2}{in}*(-1)^n) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(-1)^n) [/mm]

[mm] c_n [/mm] =  (- [mm] \bruch{2}{in}*(-1)^n) [/mm]  + 0


Ist das richtig?


Bezug
                        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Di 30.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…

> 1. Ich berechne als erstes [mm]c_0[/mm]
> […]
> [mm]c_0[/mm] = 0

[ok]

>
> 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
>
>
> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]
>  
>
> Ich wähle für die partielle Integration
>
> u = x       v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
>  
> u' = 1      v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]

[ok]
  

> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]

Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…

> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]

Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.

> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


Und hier wird aus dem $i\pi n$ im Exponent plötzlich ein $i\pi^n$… wieso?

Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen, dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für die Lösung.
Du müsstest jetzt bei $e^{-in\pi}$ nämlich zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden.
Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim Integrationsbereich von 0 bis $2\pi$ weg, weil der Faktor 2 da immer drin vorkommt.

D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du korrekterweise $ c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx} $   berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mi 31.10.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin Gono,

> Hiho,
>  
> entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas
> dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…

Ich hoffe, du hast mit deinen Mäusen mittlerweile Einvernehmen erzielt! :-)


> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
> Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…

Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann (Formatierungsproblem)   ... [mm] [-\pi;\pi] [/mm]  ist jeweils gemeint...
  

> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]
> Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.

Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann (Formatierungsproblem)   ... [mm] [-\pi;\pi] [/mm]  ist jeweils gemeint...


> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
>  Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich ein
> [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?

Ich habe [mm] e^{-i*\pi*n} [/mm] umgeformt zu [mm] e^{(-i*\pi)^n} [/mm] ...weil [mm] e^{-i*\pi} [/mm] = -1  bzw. [mm] e^{i*\pi} [/mm] = -1  ist, oder nicht?

>  
> Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen,
> dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der
> Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für
> die Lösung.
> Du müsstest jetzt bei [mm]e^{-in\pi}[/mm] nämlich zwischen geraden
> und ungeraden n unterscheiden.

Also hier müsste ich nochmal weitermachen... richtig?

>  Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim
> Integrationsbereich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] weg, weil der Faktor 2
> da immer drin vorkommt.
>
> D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du
> korrekterweise [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx}[/mm]
>   berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.
>  
> Gruß,
>  Gono  

Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall [mm] [-\pi;\pi] [/mm] .


Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Mi 31.10.2018
Autor: fred97


> Moin Moin Gono,
>  
> > Hiho,
>  >  
> > entschuldige die späte Antwort, aber ich war etwas
> > dahingerafft von kleinen, widerspenstigen Lebewesen…
>  
> Ich hoffe, du hast mit deinen Mäusen mittlerweile
> Einvernehmen erzielt! :-)
>  
>
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > > [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]
> > Hier hast du im ersten Ausdruck die Grenzen vergessen…
>  
> Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> (Formatierungsproblem)   ... [mm][-\pi;\pi][/mm]  ist jeweils


[mm] $F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b$ [/mm]

meinst Du das ?

> gemeint...
>    
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -
> > > [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}])[/mm]
> > Hier schreibst du auch wieder keine Grenzen hin.
>  
> Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> (Formatierungsproblem)   ... [mm][-\pi;\pi][/mm]  ist jeweils
> gemeint...

s.o.


>  
>
> > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
>  >  Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich ein
> > [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?
>  
> Ich habe [mm]e^{-i*\pi*n}[/mm] umgeformt zu [mm]e^{(-i*\pi)^n}[/mm] ...weil
> [mm]e^{-i*\pi}[/mm] = -1  bzw. [mm]e^{i*\pi}[/mm] = -1  ist, oder nicht?

Upps ! Es ist [mm] e^{z^n} \ne (e^z)^n [/mm] (= [mm] e^{zn} [/mm]

Zum Beispiel ist [mm] e^{(-i*\pi)^2}=e^{- \pi^2}. [/mm]


>  
> >  

> > Dein Ansatz ist aber ok… allerdings ist mir aufgefallen,
> > dass meine Aussage zu Beginn falsch war, dass der
> > Integrationsbereich keine Rolle spielt… zumindest für
> > die Lösung.
> > Du müsstest jetzt bei [mm]e^{-in\pi}[/mm] nämlich zwischen geraden
> > und ungeraden n unterscheiden.
>  
> Also hier müsste ich nochmal weitermachen... richtig?

Ja


>  
> >  Diese Unterscheidung fällt praktischerweise beim

> > Integrationsbereich von 0 bis [mm]2\pi[/mm] weg, weil der Faktor 2
> > da immer drin vorkommt.
> >
> > D.h. bezugnehmend auf meinen Kommentar solltest du
> > korrekterweise [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi}\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{x\cdot{}e^{-inx dx}[/mm]
> >   berechnen… das war ja auch die Aufgabenstellung.

>  >  
> > Gruß,
>  >  Gono  
>
> Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall
> [mm][-\pi;\pi][/mm] .
>  


Bezug
                                                
Bezug
Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 Do 01.11.2018
Autor: hase-hh

Moin!
> >  

> > Naja, ich weiß nicht, wie ich die Grenzen da angeben kann
> > (Formatierungsproblem)   ... [mm][-\pi;\pi][/mm]  ist jeweils
> > gemeint...
>
> [mm]F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b[/mm]
>  
> meinst Du das ?
>  >

Ja, genau  [mm] ]_a^b [/mm]
    

> > > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}][/mm] -

> > > > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*e^{(-i*\pi)^n} -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*e^{-i*(-\pi)^n}))[/mm]
> > > > - [mm][\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}][/mm]
>  >  >  Und hier wird aus dem [mm]i\pi n[/mm] im Exponent plötzlich
> ein
> > > [mm]i\pi^n[/mm]… wieso?
>  >  
> > Ich habe [mm]e^{-i*\pi*n}[/mm] umgeformt zu [mm]e^{(-i*\pi)^n}[/mm] ...weil
> > [mm]e^{-i*\pi}[/mm] = -1  bzw. [mm]e^{i*\pi}[/mm] = -1  ist, oder nicht?
>  
> Upps ! Es ist [mm]e^{z^n} \ne (e^z)^n[/mm] (= [mm]e^{zn}[/mm]
>  
> Zum Beispiel ist [mm]e^{(-i*\pi)^2}=e^{- \pi^2}.[/mm]
>  

Ok, wie geht das aber dann mit dem Einheitskreis?

Bisher habe ich gelernt  [mm] e^{-i*\pi} [/mm] = -1.

Was ist aber dann [mm] e^{-i*\pi*n} [/mm] ?

In meinen Unterlagen finde ich  [mm] (-1)^n, [/mm] aber wie komme ich dahin???














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Komplexe Fourier-Reihe: Potenzgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Do 01.11.2018
Autor: Loddar

Hallo Hase,

gemäß MBPotenzgesetz [mm] $a^{m*n} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ a^m \right)^n$ [/mm] gilt:

[mm] $e^{-i*\pi*n} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{-i*\pi} \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n$ [/mm]


Nun klar(er)?


Gruß
Loddar

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Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 Fr 02.11.2018
Autor: hase-hh


> Hallo Hase,
>  
> gemäß MBPotenzgesetz [mm]a^{m*n} \ = \ \left( \ a^m \right)^n[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]e^{-i*\pi*n} \ = \ \left( \ e^{-i*\pi} \ \right)^n \ = \ (-1)^n[/mm]
>  
>
> Nun klar(er)?
>  
>
> Gruß
>  Loddar


Ja, vielen Dank! Kurz und knackig!

Also war mein Fehler, dass ich weiter oben die Klammern um die Basis nicht gesetzt habe...




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Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mi 31.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

nur der Vollständigkeit halber:

> Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall [mm][-\pi;\pi][/mm] .

also in dem Video, was du gepostet hast, nicht. Da ging es um das Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Do 01.11.2018
Autor: hase-hh


> Hiho,
>  
> nur der Vollständigkeit halber:
>  
> > Naja, die Aufgabenstellung war schon das Intervall
> [mm][-\pi;\pi][/mm] .
>  also in dem Video, was du gepostet hast, nicht. Da ging es
> um das Intervall [mm][0,2\pi][/mm]
>  
> Gruß,
>  Gono

Ja, im Video schon, aber was Besseres habe ich nicht gefunden.  

Die Aufgabenstellung betrachtet das Intervall [- [mm] \pi;\pi] [/mm] .

Amen.

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Komplexe Fourier-Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:00 So 04.11.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

ich fasse nochmal zusammen...


2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]


[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]


Ich wähle für die partielle Integration

u = x       v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
  
u' = 1      v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
  
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi)[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( (-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n}) -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n})[/mm] - [mm] [\bruch{1}{i^2n^2}*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi [/mm] )

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n (-\bruch{-\pi}{in}*(-1)^n))[/mm] - [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{-1*n^2}*e^{-inx}]_{-\pi}^\pi [/mm]
  
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{\pi}{in}*(-1)^n -(\bruch{\pi}{in}*(-1)^n)) +\bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{n^2}*(e^{-i*\pi})^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n [/mm] )

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2\pi}{in}*(-1)^n [/mm] ) [mm] +\bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}*(-1)^n [/mm] )

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2\pi}{in}*(-1)^n [/mm] + 0

[mm] c_n [/mm] = - [mm] \bruch{1}{in}*(-1)^n [/mm]


richtig?


Wie kann ich jetzt die Unterscheidung zwischen ungeraden n und geraden n machen?

keine Idee!



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Komplexe Fourier-Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 06.11.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Komplexe Fourier-Reihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:12 Fr 02.11.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

ich möchte die Lösung noch etwas vervollständigen...

> > 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
> >
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]

> >
> > Ich wähle für die partielle Integration
> >
> > u = x       v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
>  >  
> > u' = 1      v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
>  [ok]
>    

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi} [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi})[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*\pi})^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(-1)^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n)[/mm]


[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(\bruch{1}{in}*(\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2}{in}*\pi*(-1})^n) [/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]-\bruch{1}{in}*(-1})^n [/mm]

Ist das soweit korrekt?


Muss ich jetzt zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden, und wie würde dann meine Lösung aussehen?

Hmm...  ginge das so:

n = 2k    

n = 2k+1


[mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i*2k}*(-1)^{2k} [/mm] =  [mm] -\bruch{1}{2ik} [/mm]

[mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i*(2k+1)}*(-1)^{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i*(2k+1)} [/mm]

???

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Komplexe Fourier-Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 04.11.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Komplexe Fourier-Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:04 Mi 07.11.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

ich möchte die Lösung noch etwas vervollständigen...

> > 2. Ich berechne die [mm]c_n[/mm]
> >
> > [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\pi}^{\pi}{x*e^{-inx} dx}[/mm]

> >
> > Ich wähle für die partielle Integration
> >
> > u = x       v' = [mm]e^{-inx}[/mm]
>  >  
> > u' = 1      v = [mm]-\bruch{1}{in}*e^{-inx}[/mm]
>  [ok]
>    

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi} [/mm] - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{-\bruch{1}{in}*e^{-inx} dx})[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*( [-\bruch{1}{in}*x*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi}[/mm] - [mm][(-\bruch{1}{in})^2*e^{-inx}]_{-\pi}^{\pi})[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(e^{-i*\pi})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*\pi})^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(e^{-i*(-\pi)})^n)[/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(-\bruch{1}{in}*(-\pi)*(-1)^n)[/mm] - [mm](\bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n - \bruch{1}{i^2n^2}*(-1)^n)[/mm]


[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{1}{in}*\pi*(-1})^n -(\bruch{1}{in}*(\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0

[mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\pi}*(-\bruch{2}{in}*\pi*(-1})^n) [/mm]

[mm]c_n[/mm] = [mm]-\bruch{1}{in}*(-1})^n [/mm]

Ist das soweit korrekt?


Muss ich jetzt zwischen geraden und ungeraden n unterscheiden, und wie würde dann meine Lösung aussehen?

Hmm...  ginge das so:

n = 2k    

n = 2k+1


[mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i*2k}*(-1)^{2k} [/mm] =  [mm] -\bruch{1}{2ik} [/mm]

[mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i*(2k+1)}*(-1)^{2k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{i*(2k+1)} [/mm]

???

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Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:45 Fr 09.11.2018
Autor: hase-hh

Die Frage ist nach wie vor offen. :(

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Komplexe Fourier-Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Fr 09.11.2018
Autor: fred97




$ [mm] c_{2k}= -\bruch{1}{i\cdot{}2k}\cdot{}(-1)^{2k} [/mm] $ =  $ [mm] -\bruch{1}{2ik} [/mm] $

$ [mm] c_{2k+1}= -\bruch{1}{i\cdot{}(2k+1)}\cdot{}(-1)^{2k+1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{i\cdot{}(2k+1)} [/mm] $

ist richtig.


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Komplexe Fourier-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:11 Fr 09.11.2018
Autor: hase-hh

Dankeschön!!

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