Kernbestimmung durch ang Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung: F : V -> W zwischen den Vektorräumen V und W.
Frage: Man bestimme Kern(F) durch die Angabe einer Basis dieses Vektorraumes
[mm] F\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{x + y \\ x+ z} [/mm] ; v = [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 9} [/mm] |
Uns verwirrt die eigentliche Fragestellung. Bis jetzt haben wir folgende Überlegungen angestellt:
Der Kern von F ist ja normalerweise folgendes: {v [mm] \in [/mm] V | F(v) = 0}
aus dieser Überlegung heraus bekommen wir:
[mm] F\vektor{v1\\v2\\v3} [/mm] = [mm] \vektor{x + y \\ x+ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]
=> x+y = 0 ; x+z = 0 => x = -z = -y
V = [mm] \vektor{v1\\v2\\v3} [/mm] = [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{x\\-x\\-x}
[/mm]
Demnach ist der Kern(F) die Menge aller v für die gilt v = [mm] \vektor{x\\-x\\-x} [/mm] z.B.: [mm] \vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
Weiters:
B' = [mm] \{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\-1\\0},\vektor{0\\0\\-1}\} [/mm] (wegen dem Kern oben)
Dann die Linearkombination bilden:
v = [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] * [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \vektor{0\\-1\\0} [/mm] * [mm] \alpha_2 [/mm] + [mm] \vektor{0\\0\\-1} [/mm] * [mm] \alpha_3
[/mm]
cB(v) = [mm] \vektor{2\\3\\-9}
[/mm]
Ist das ergebnis jetzt der Kern(F) durch die Angabe einer Basis _dieses_ Vektorraumes, oder müssen wir gänzlich anders auf den Kern kommen - durch annahme Kanonischer basen? Wenn ja, wie funktioniert das, hier stoßen wir nämlich auf ein Verständnisproblem...
Sind wir hier auf dem richtigen weg?
Wie sollte der Basis des Kernes ausschauen?
Ist in dem fall der Basis des Kernes identisch mit der Basis von V?
Danke schön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 08.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ihr habt die Frage sehr missverstanden.
Ihr sollt den Kern von F dadurch angeben, dass ihr eine Basis des Kerns angebt. (der Kern ist ja ein Untervektorraum von V)
Das habt ihr richtig mit [mm] (1,-1,-1)^T [/mm] gemacht.
das kann nichts mit v zu tun haben, denn v liegt ja nicht in diesem eindimensionalen Vektorraum.
was ihr mit v sollt weiss ich nicht. steht da sonst nichts?
vielleich F(v) bilden und fesstellen, dass v nicht im Kern liegt. ? oder die Aufgabe ist nicht vollstaendig.
Gruss leduart
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Bezüglich der in der Angabe angeführtem Vektor v gibt es noch zwei weitere Aufgaben, aber die haben wir bereits lösen können. Sorry falls die Angabe etwas verwirrend war.
Zum Basis des Vektorraumes.
Haben jetzt ein bischen überlegt und folgende These/argumentation aufgestellt:
Der Vektor v [mm] \in [/mm] V liegt im Kern genau dann wenn die Abbildung F(v) in den Nullvektor abgebildet wird.
Dauraus folgt:
[mm] F(v)=F\vektor{y\\y\\z}=\vektor{x+y\\x+z}=\vektor{0\\0}=Nullvektor
[/mm]
für den Vektor v gilt daher:
[mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, v_1=-v_2=-v_3
[/mm]
Wir schlussfolgern:
Eine Basis [mm] B={b_1,b_2,b_3} [/mm] ist eine Basis des Kerns wenn die Linearkombination der Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] in den Nullvektor abgebildet wird!
Eine von uns gewählte Basis:
[mm] B={b_1, b_2, b_3} [/mm] = [mm] {\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\-1}}
[/mm]
[mm] v=\alpha_1*b_1+\alpha_2*b_2+\alpha_3*b_3=\vektor{1\\0\\0}+\vektor{0\\-1\\0}+\vektor{0\\0\\-1}=\vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
Abbildung von v:
[mm] F\vektor{1\\-1\\-1}=\vektor{1+(-1)\\1+(-1)}=\vektor{0\\0}
[/mm]
Wodurch bewiesen ist dass die Basis B im Vektorraum des Kernes liegt.
Wäre das so ausreichend als Antwort?
Passt die Basis die wir angenommen haben, oder müssen wir genau die Basis hinschreiben welches den Vektorraum des kernes aufspannt?
Wie können wir diesen Rechnerisch bestimmen?
(Ein Tip in die richtige Richtung ist ausreichend muss nicht die komplette Rechnung sein...)
Für jegliche konstruktive Kritik wären wir sehr dankbar!
Uns interessiert auch ob wir das richtig geschlussfolgert haben, bzw. ob unsere Aussagen sinnvoll und korrekt sind.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zum Basis des Vektorraumes.
> Haben jetzt ein bischen überlegt und folgende
> These/argumentation aufgestellt:
>
> Der Vektor v [mm]\in[/mm] V liegt im Kern genau dann wenn die
> Abbildung F(v) in den Nullvektor abgebildet wird.
Genau. So ist der Kern definiert.
>
> Dauraus folgt:
>
> [mm]F(v)=F\vektor{y\\y\\z}=\vektor{x+y\\x+z}=\vektor{0\\0}=Nullvektor[/mm]
>
> für den Vektor v gilt daher:
>
> [mm]v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, v_1=-v_2=-v_3[/mm]
Bis hierhin okay.
>
> Wir schlussfolgern:
> Eine Basis [mm]B={b_1,b_2,b_3}[/mm] ist eine Basis des Kerns wenn
> die Linearkombination der Basisvektoren [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] in
> den Nullvektor abgebildet wird!
Nein. Wenn ihr eine Basis aus drei Vektoren findet, dann wäre euer Kern von der Dimension 3. Es gibt da aber die Dimensionsformel (ihr bildet vom [mm] $\IR^3$ [/mm] ab): [mm] $dim(\IR^3)=$dim(Bild)+dim(Kern). [/mm] Wenn ihr euch aber eure lineare Abbildung als Matrix hinschreibt, seht ihr, dass die Dimension des Bildes gleich 2 ist. Deshalb kann die Dimension des Kernes nur 1 sein.
Wenn ihr dann eine Basis in euerem Fall des [mm] $\IR^3$ [/mm] habt, und jede Linearkombination eurer Basis in die Null abgebildet würde, hättet ihr ja die Nullfunktion vorliegen, und das habt ihr sicher nicht. Es wird doch nur einige Vektoren in die 0 abgebildet. Schaut euch zb den Vektor [mm] $(1,0,2)^t$ [/mm] an. Den könnt ihr auch aus eurer Basis von unten linearkombinieren. Geht der in die 0?
>
> Eine von uns gewählte Basis:
>
> [mm]B={b_1, b_2, b_3}[/mm] = [mm]{\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\-1}}[/mm]
>
> [mm]v=\alpha_1*b_1+\alpha_2*b_2+\alpha_3*b_3=\vektor{1\\0\\0}+\vektor{0\\-1\\0}+\vektor{0\\0\\-1}=\vektor{1\\-1\\-1}[/mm]
>
> Abbildung von v:
>
> [mm]F\vektor{1\\-1\\-1}=\vektor{1+(-1)\\1+(-1)}=\vektor{0\\0}[/mm]
>
> Wodurch bewiesen ist dass die Basis B im Vektorraum des
> Kernes liegt.
>
> Wäre das so ausreichend als Antwort?
Eure Antwort ist leider falsch.
Ihr bekommt doch die Sache raus, dass [mm] $v_1=-v_2=-v_3$ [/mm] sein muss, also so etwas wie [mm] $v_1*(1,-1,-1)^t$. [/mm] Von daher habt ihr nur die Möglichkeit, Linearkombinationen aus dem Vektor $(1,-1,-1)$ zu wählen, um auf die 0 abzubilden...
> Passt die Basis die wir angenommen haben, oder müssen wir
> genau die Basis hinschreiben welches den Vektorraum des
> kernes aufspannt?
Nein, s.h. oben.
> Wie können wir diesen Rechnerisch bestimmen?
Das habt ihr doch schon gemacht, indem ihr gesagt habt $x+y=0$ und $x+z=0$, woraus folgt, dass $x=-y$ und $y=z$ sein muss, woraus ihr dann die richtige Basis [mm] $(1,-1,-1)^t$ [/mm] bekomt.
> (Ein Tip in die richtige Richtung ist ausreichend muss
> nicht die komplette Rechnung sein...)
>
> Für jegliche konstruktive Kritik wären wir sehr dankbar!
> Uns interessiert auch ob wir das richtig geschlussfolgert
> haben, bzw. ob unsere Aussagen sinnvoll und korrekt sind.
>
> Danke!
Ich hoffe, ich konnte euch weiterhelfen. Wenn ihr jetzt nochmal eure "erste" Basis aus dem genannte Vektor anseht, und damit die Dimension des Kernes bestimmt, und euch von oben nochmal die Dimensionsformel anguckt, stellt ihr auch nochmal was fest.
LG
Kroni
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 Sa 08.11.2008 | | Autor: | zsoltpataky |
Haben jetzt ein bischen überlegt und folgende These aufgestellt:
Der Vektor v [mm] \in [/mm] V liegt im Kern genau dann wenn die Abbildung F(v) in den Nullvektor abgebildet wird.
Dauraus folgt:
[mm] F(v)=F\vektor{y\\y\\z}=\vektor{x+y\\x+z}=\vektor{0\\0}=Nullvektor
[/mm]
für den Vektor v gilt daher:
[mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, v_1=-v_2=-v_3
[/mm]
Wir schlussfolgern:
Eine Basis [mm] B={b_1,b_2,b_3} [/mm] ist eine Basis des Kerns wenn die Linearkombination der Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] in den Nullvektor abgebildet wird!
Eine von uns gewählte Basis:
[mm] B={b_1, b_2, b_3} [/mm] = [mm] {\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\-1\\0}, \vektor{0\\0\\-1}}
[/mm]
[mm] v=\alpha_1*b_1+\alpha_2*b_2+\alpha_3*b_3=\vektor{1\\0\\0}+\vektor{0\\-1\\0}+\vektor{0\\0\\-1}=\vektor{1\\-1\\-1}
[/mm]
Abbildung von v:
[mm] F\vektor{1\\-1\\-1}=\vektor{1+(-1)\\1+(-1)}=\vektor{0\\0}
[/mm]
Wodurch bewiesen ist dass die Basis B im Vektorraum des Kernes liegt.
Für jegliche konstruktive Kritik wären wir sehr dankbar!
Uns interessiert auch ob wir das richtig geschlussfolgert haben, bzw. ob unsere Aussagen sinnvoll und korrekt sind.
Danke!
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