Keine wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | | Es sei $f: [mm] D_f \rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] holomorph und injektiv. Weiter sei [mm] $a\in \mathbb{C} \backslash{D_f}$ [/mm] eine isolierte Singularität von f. Zeigen sie a ist keine wesentliche Singularität. |
Hallo,
ich bin bei dieser Aufgabe in einer Probeklausur nicht weitergekommen, weil meiner Meinung nach in der Lösung ein Fehler ist, oder ich diese nicht verstehe. :)
Es sieht im Grunde so aus, dass man mithilfe des Satzes von Casorati-Weierstraß einen Widerspruch herleiten will. Man nimmt dazu an, dass a eine wesentliche Singularität ist und definiert sich ein [mm] $\alpha\in D_f$ [/mm] und [mm] $\beta:=f(\alpha)$ [/mm] Weiter solle [mm] $\delta [/mm] $ und [mm] $\epsilon [/mm] >0$ gewählt werden mit:
[mm] $R_{0,\delta}(\alpha), K_{\epsilon}( \alpha) \subset D_f \wedge R_{0,\delta}(\alpha)\cap K_{\epsilon}( \alpha) =\emptyset$ [/mm] ( wobei ich davon ausgehe, dass [mm] $K_\epsilon(\alpha)$ [/mm] ein Kreis um [mm] $\alpha$ [/mm] sein soll).
Jetzt kommt der springende Punkt (bei dem ich hänge), dass dann weiter argumentiert wird, dass mit dem Satz über Gebietstreue gelte, dass $M:= [mm] f(K_\epsilon(\alpha))$ [/mm] offen sei. Das macht doch eigentlich keinen Sinn, oder kann eine Kreislinie ein Gebiet sein? Vor allem, da der Kreisrand ja abgeschlossen ist.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f: D_f \rightarrow \mathbb{C}[/mm] holomorph und
> injektiv. Weiter sei [mm]a\in \mathbb{C} \backslash{D_f}[/mm] eine
> isolierte Singularität von f. Zeigen sie a ist keine
> wesentliche Singularität.
> Hallo,
> ich bin bei dieser Aufgabe in einer Probeklausur nicht
> weitergekommen, weil meiner Meinung nach in der Lösung ein
> Fehler ist, oder ich diese nicht verstehe. :)
> Es sieht im Grunde so aus, dass man mithilfe des Satzes
> von Casorati-Weierstraß einen Widerspruch herleiten will.
> Man nimmt dazu an, dass a eine wesentliche Singularität
> ist und definiert sich ein [mm]\alpha\in D_f[/mm] und
> [mm]\beta:=f(\alpha)[/mm] Weiter solle [mm]\delta[/mm] und [mm]\epsilon >0[/mm]
> gewählt werden mit:
> [mm]R_{0,\delta}(\alpha), K_{\epsilon}( \alpha) \subset D_f \wedge R_{0,\delta}(\alpha)\cap K_{\epsilon}( \alpha) =\emptyset[/mm]
> ( wobei ich davon ausgehe, dass [mm]K_\epsilon(\alpha)[/mm] ein
> Kreis um [mm]\alpha[/mm] sein soll).
> Jetzt kommt der springende Punkt (bei dem ich hänge),
> dass dann weiter argumentiert wird, dass mit dem Satz über
> Gebietstreue gelte, dass [mm]M:= f(K_\epsilon(\alpha))[/mm] offen
> sei. Das macht doch eigentlich keinen Sinn, oder kann eine
> Kreislinie ein Gebiet sein?
Es ist keine KreisLinie, sondern eine offene KreisScheibe
Fred
> Vor allem, da der Kreisrand ja
> abgeschlossen ist.
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
du meinst damit, nehme ich mal an, dass es sich um eine offene Kreisscheibe handeln soll?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> du meinst damit, nehme ich mal an, dass es sich um eine
> offene Kreisscheibe handeln soll?
Ja,, ich habe vorhin vom Tablet aus geschrieben, da ging wohl was schief.
Fred
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
wenn es sich um eine offene Kreisscheibe handelt, dann frage ich mich, wie es sein kann, dass die den Schnitt als leer fordern, wenn doch beides (K und R) den Punkt umgebende Mengen sind. Für mich macht das keinen Sinn.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Sa 20.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> wenn es sich um eine offene Kreisscheibe handelt, dann
> frage ich mich, wie es sein kann, dass die den Schnitt als
> leer fordern, wenn doch beides (K und R) den Punkt
> umgebende Mengen sind. Für mich macht das keinen Sinn.
> Viele Grüße,
> Reynir
Erzähle doch erstmal , was [mm] R_{0, \delta} [/mm] bedeutet !!!!
Wieder so ein Würmchen, das man Dir aus der Nase ziehen muss.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 21.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
meiner Lesart nach ist dieses [mm] $R_{0,\delta}=\{z\in \mathbb{C}: 0< |z-\alpha|<\delta\}$ [/mm] eine punktierte Umgebung von dem [mm] $\alpha$.
[/mm]
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Mo 22.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> meiner Lesart nach ist dieses [mm]R_{0,\delta}=\{z\in \mathbb{C}: 0< |z-\alpha|<\delta\}[/mm]
> eine punktierte Umgebung von dem [mm]\alpha[/mm].
Das kann nicht sein !
Machen wir es so: [mm] f:D_f \to \IC [/mm] sei injektiv und habe in a [mm] \notin D_f [/mm] eine isolierte Singularität.
Wir wählen eine offene Kreisscheibe K mit Mittelpunkt a so, dass
[mm] $K_0:= [/mm] K [mm] \setminus \{a\} \subset D_f$ [/mm] und [mm] D_0:=D \setminus \overline{K} \ne \emptyset.
[/mm]
Dann ist [mm] D_0 [/mm] offen, also auch [mm] f(D_0).
[/mm]
Wegen der Inkektivität von f ist
(*) [mm] f(K_0) \cap f(D_0) [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Wäre nun a eine wesentliche Singularität von f, so hätten wir , nach Casorati- Weierstraß,
[mm] \overline{f(K_0)}= \IC.
[/mm]
Somit:
[mm] f(D_0) \subseteq \overline{f(K_0)}.
[/mm]
Ist dann [mm] w_0 \in f(D_0), [/mm] so gibt es also eine Folge [mm] (w_n) [/mm] in [mm] f(K_0) [/mm] mit [mm] w_n \to w_0.
[/mm]
Da [mm] f(D_0) [/mm] offen ist, haben wir
[mm] w_n \in f(D_0) [/mm] für fast alle n.
Damit dann auch:
[mm] w_n \in f(K_0) \cap f(D_0) [/mm] für fast alle n.
Das widerspricht aber (*)
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mo 22.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Danke für deine Erklärung.
Viele Grüße,
Reynir
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