www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Jordan Normalform
Jordan Normalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Jordan Normalform: Korrektur / Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 22.06.2016
Autor: Schobbi

Aufgabe
Sei [mm] A=\pmat{ -3 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \\ -3 & 1 & 6 }\in M(3\times 3,\IC). [/mm] Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A auf folgende Weise:

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und zerlegen Sie es in Linearfaktoren.

b) Zeigen Sie, dass [mm] E_{\lambda_1} [/mm] und [mm] E_{\lambda_2} [/mm] beide eindimensional sind und bestimmen Sie jeweils einen Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] bzw. [mm] v_2. [/mm] Finden Sie weiterhin einen Vektor [mm] v_3 \in Kern((A-\lambda_2)^2)\supset E_{\lambda_2}, [/mm] der nicht in [mm] E_{\lambda_2} [/mm] liegt.

c) Setzen Sie [mm] S:=(v_1,v_2,v_3)\in M(3\times [/mm] 3, C). Zeigen Sie, dass S invertierbar ist und berechnen Sie [mm] J=S^{-1}AS. [/mm]

Moin zusammen, irgendwie hat sich wohl ein Rechenfehler in meine Lösung eingeschlichen aber ich kann ihn leider nicht finden und da ja bekanntlich mehr Augen auch mehr sehen als zwei, bitte ich um Eure Hilfe und um eine kleine Korrektur:

zu a) Ich habe das charakteristische Polynom [mm] P_A(t)=det(A-tE)=-t(t-3)^3 [/mm] berechnet. Daraus ergeben sich dann die Eigenwerte [mm] \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=3 [/mm]

zu b) Da gelten muss: [mm] (A-\lambda_{1,2}E)v=0 [/mm]
ergibt sich als Eigenvektor zum Eigenwert 0: [mm] E_{\lambda_1}=E_0=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\2}\} [/mm]
und als Eigenvektor zum Eigenwert 3: [mm] E_{\lambda_2}=E_3=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\1}\} [/mm]

Ergänzt habe ich diese beiden Vektoren mit [mm] v_3=\vektor{0 \\ 1 \\0}, [/mm] und erhalte somit eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm]

zu c) Es folgt dann [mm] S=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0} [/mm] und für die inverse Matrix [mm] S^{-1}=\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0} [/mm]

Doch jetzt zu meinem Problem: Für [mm] J=S^{-1}AS [/mm] erhalte ich [mm] J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]

Aber die 9 gehört doch gar nicht in meine Jordanmatrix, da hab ich doch nur die Eigenwerte auf der Diagonalen und die Einsen, die mit die einzelnen Blöcke bilden.

Wäre lieb wenn Ihr mir einen kleinen Tipp geben könntet, wo sich mein Fehler eingeschlichen hat. DANKE!

Beste Grüße


        
Bezug
Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Mi 22.06.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]A=\pmat{ -3 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \\ -3 & 1 & 6 }\in M(3\times 3,\IC).[/mm]
> Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von A auf folgende
> Weise:
>  
> a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und zerlegen
> Sie es in Linearfaktoren.
>  
> b) Zeigen Sie, dass [mm]E_{\lambda_1}[/mm] und [mm]E_{\lambda_2}[/mm] beide
> eindimensional sind und bestimmen Sie jeweils einen
> Eigenvektor [mm]v_1[/mm] bzw. [mm]v_2.[/mm] Finden Sie weiterhin einen Vektor
> [mm]v_3 \in Kern((A-\lambda_2)^2)\supset E_{\lambda_2},[/mm] der
> nicht in [mm]E_{\lambda_2}[/mm] liegt.
>  
> c) Setzen Sie [mm]S:=(v_1,v_2,v_3)\in M(3\times[/mm] 3, C). Zeigen
> Sie, dass S invertierbar ist und berechnen Sie [mm]J=S^{-1}AS.[/mm]
>  Moin zusammen, irgendwie hat sich wohl ein Rechenfehler in
> meine Lösung eingeschlichen aber ich kann ihn leider nicht
> finden und da ja bekanntlich mehr Augen auch mehr sehen als
> zwei, bitte ich um Eure Hilfe und um eine kleine
> Korrektur:
>  
> zu a) Ich habe das charakteristische Polynom
> [mm]P_A(t)=det(A-tE)=-t(t-3)^3[/mm] berechnet.


Hier hast Du Dich wahrscheinlich nur verschrieben.  [mm] -t(t-3)^2 [/mm] ist das char. Polynom.




>  Daraus ergeben sich
> dann die Eigenwerte [mm]\lambda_1=0[/mm] und [mm]\lambda_2=3[/mm]
>  
> zu b) Da gelten muss: [mm](A-\lambda_{1,2}E)v=0[/mm]
> ergibt sich als Eigenvektor zum Eigenwert 0:
> [mm]E_{\lambda_1}=E_0=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\2}\}[/mm]


Das stimmt nicht, sondern  [mm]E_{\lambda_1}=E_0=Lin\{\vektor{2 \\ 0 \\1}\}[/mm]


FRED



>  und als
> Eigenvektor zum Eigenwert 3:
> [mm]E_{\lambda_2}=E_3=Lin\{\vektor{1 \\ 0 \\1}\}[/mm]
>  
> Ergänzt habe ich diese beiden Vektoren mit [mm]v_3=\vektor{0 \\ 1 \\0},[/mm]
> und erhalte somit eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
>  
> zu c) Es folgt dann [mm]S=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0}[/mm]
> und für die inverse Matrix [mm]S^{-1}=\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>  
> Doch jetzt zu meinem Problem: Für [mm]J=S^{-1}AS[/mm] erhalte ich
> [mm]J=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>  
> Aber die 9 gehört doch gar nicht in meine Jordanmatrix, da
> hab ich doch nur die Eigenwerte auf der Diagonalen und die
> Einsen, die mit die einzelnen Blöcke bilden.
>  
> Wäre lieb wenn Ihr mir einen kleinen Tipp geben könntet,
> wo sich mein Fehler eingeschlichen hat. DANKE!
>  
> Beste Grüße
>  


Bezug
                
Bezug
Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:56 Mi 22.06.2016
Autor: Schobbi

DANKE, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht :-)

Jetzt passts auch mit
[mm] J=S^{-1}AS=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 }*\pmat{ -3 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \\ -3 & 1 & 6 }*\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0& 0 & 3 } [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de