Ito-Formel, Poisson-Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] (N_t)_{t\ge 0} [/mm] ein Zählprozess, also ein reiner Sprungprozess mit Sprunghöhe +1 und es sei [mm] (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0} [/mm] eine Filtration, bzgl. der [mm] N_t [/mm] adaptiert ist. Angenommen, es existiert ein [mm] \lambda>0 [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] M_t:=N_t-\lambda [/mm] t ein [mm] \mathcal{F}_t [/mm] -Martingal ist. Dann ist [mm] N_t [/mm] ein Poissonprozess mit Intensität [mm] \lambda [/mm] und ein Prozess mit unabhängigen Inkrementen in dem Sinne, dass [mm] N_t-N_s [/mm] unabhängig von [mm] \mathcal{F}_s, 0\le s\le\var{t}.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie mit Hilfe der Ito-Formel, dass der Prozess [mm] X_t=e^{\displaystyle iuN_t-(e^{iu}-1)\lambda t} [/mm] ein Martingal ist - mit den Werten in den komplexen Zahlen. Zeigen Sie weiter, dass [mm] \mathbb{E}\left[\frac{X_t}{X_s}|\mathcal{F}_s\right]=1. [/mm] |
Hallo,
um das in der Aufgabenstellung genannte Resultat zu zeigen, fehlen mir noch so einige Bausteine.
Als erstes will ich dem Hinweis folgen und zeigen, dass [mm] $X_t$ [/mm] ein Martingal ist. Dazu wende ich die ![[]](/images/popup.gif) Ito-Formel für Semimartingale einfach mal auf [mm] f(t,N_t)=X_t [/mm] an und erhalte:
[mm] X_t=\;f(0,N_0)+\int_{(0,t]}\frac{\partial f}{\partial s}(s,N_{s-})\,ds+\int_{(0,t]}\frac{\partial f}{\partial x}(s,N_{s-})\,dN_s+\sum_{0
[mm] =\;1+\displaystyle\int_{(0,t]}(e^{iu}-1)\lambda X_s\,ds-\int_{(0,t]}iuX_s\,d N_s+\sum_{0
So, jetzt habe ich keine Ahnung,
1. ob das bis hierhin stimmt.
2. wenn es stimmt, wie ich weiter machen könnte und wo eigentlich der Zusammenhang zwischen Ito-Formel und der zu zeigenden Martingaleigenschaft ist.
3. Selbst wenn ich die Hinweise abgearbeitet hätte, wie es dann weitergehen würde.
So, ich würde mir den ganzen Kram hier ja nicht durchlesen und durchdenken, aber vielleicht tut es ja trotzdem einer und hat einen Tipp für mich. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Ito-Formel für Semimartingale
> einfach mal auf [mm]f(t,N_t)=X_t[/mm] an und erhalte:
>
> [mm]X_t=\;f(0,N_0)+\int_{(0,t]}\frac{\partial f}{\partial s}(s,N_{s-})\,ds+\int_{(0,t]}\frac{\partial f}{\partial x}(s,N_{s-})\,dN_s+\sum_{0
1. Wo sind denn die 2. Ableitungen (d.h. [mm] $\partial_{N_t,N_t} [/mm] f\ [mm] d[N_t,N_t]$ [/mm] und Konsorten) hinverschwunden?
2. [mm] $\int_{(0,t]}\partial_{N_t} f(s^-,N_{s^-})\ dN_s [/mm] = [mm] \sum_{\text{Sprungstellen von }N_t}\partial_{N_t}f(s^-,N_{s^-})=\sum_{s\leq t}\partial_{N_t}f(s^-,N_{s^-})\ \Delta N_s$
[/mm]
da [mm] $N_t$ [/mm] außer an seinen Sprüngen konstant ist und die Sprünge alle Sprunghöhe 1 haben.
3. Was ist denn [mm] $f(s,N_s)-f(s^-,N_{s^-})$ [/mm] an Sprungstellen von [mm] $N_s$ [/mm] (in die Definition einsetzen), und was überall sonst?
Wenn Du die Ito-Formel mal vollständig anwendest und schaust, wo ähnliches gilt wie in 2., dann bleibt nicht mehr viel übrig.
Was Du willst ist etwas der Art
[mm] $X_t= \int A_t\ dM_t$
[/mm]
denn dann ist (unter gewissen Voraussetzungen an [mm] $A_t$) $X_t$ [/mm] ein Martingal, weil [mm] $M_t$ [/mm] ja nach Voraussetzung eines ist.
ciao
Stefan
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Vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
1. Was die 2. Ableitungen angeht, war ich durch das [mm] \var{c} [/mm] in [mm] d[N,N]^c_s [/mm] etwas verwirrt, aber ich denke mal, es gilt:
[mm] \frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}\,d[N,N]_s^c [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}d\underbrace{[N,N]_s}_{\lambda s}-\frac{1}{2}\sum_{0
und [s,N]=[s,s]=0.
2. Sehr gut, dann hebt sich das schonmal weg...
3. Also ich denke es gilt an den Sprungstellen: [mm] N_{s-}=N_s-1, [/mm] also:
[mm] X_s-X_{s-} [/mm] = [mm] X_s-f(s-,N_{s-}) [/mm] = [mm] X_s-f(s,N_{s-}) [/mm] = [mm] X_s-e^{\displaystyle iu(N_s-1)-(e^{iu}-1)\lambda s} [/mm] = [mm] X_s-e^{\displaystyle -iu}X_s
[/mm]
und ansonsten gilt natürlich [mm] X_s-X_{s-}=0.
[/mm]
Frage: Bis hierhin alles richtig? Wenn ja, dann hätte ich nun:
[mm] \displaystyle X_t=1+\int_{(0,t]}\frac{\partial f}{\partial s}(s,N_{s-})\,ds-\frac{1}{2}\int_{(0,t]}u^2X_{s-}\lambda\,ds+\frac{1}{2}\sum_{\text{Sprungstellen von }N_t}X_s-e^{\displaystyle -iu}X_s+u^2X_{s-}
[/mm]
Sieht aber nicht wirklich richtig aus, hmm...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
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> 1. Was die 2. Ableitungen angeht, war ich durch das [mm]\var{c}[/mm]
> in [mm]d[N,N]^c_s[/mm] etwas verwirrt, aber ich denke mal, es gilt:
Du hattest völlig recht, sie wegzulassen.
[mm] $[X,Y]^c_s=[X,Y]_s-\sum_{s\leq t}\Delta X_s\Delta Y_s$
[/mm]
Bei N gilt damit natürlich:
[mm] $[N,N]^c_s=0$
[/mm]
Sorry, ich hab mit der Ito-Formel von der englischen Wiki gearbeitet, wo die beiden Terme getrennt auftauchen. Also hab ich unterbewußt erwartet, daß sie bei Dir stehen, und Du sie dann wegkürzt.
Damit hab ich Dich völlig unnötig verwirrt, und in Deine Rechnung hat sich dann ein Fehler eingeschlichen:
>
> [mm]\frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}\,d[N,N]_s^c[/mm]
> = [mm]\frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}d\underbrace{[N,N]_s}_{\lambda s}-\frac{1}{2}\sum_{0
Das hinten muß [mm] $(\Delta N_s)^2$ [/mm] sein, und [mm] $(\Delta N_s)^2=1$ [/mm] an Sprungstellen und 0 sonst.
[mm] $[N,N]_t=\lim_{\|\Delta t_k\| \to 0}\sum_{k=1}^{n}\left(N_{t_k}-N_{t_{k-1}}\right)\left(N_{t_k}-N_{t_{k-1}}\right)=\sum_{\text{Sprungstellen}}1=N_t$
[/mm]
Also:
[mm] $\frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}\,d[N,N]_s^c=$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}\int_{(0,t]}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}dN_s-\frac{1}{2}\sum_{\text{Sprungstellen}}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X_{s-}=0$
[/mm]
denn zusätzlich ist auch
[mm] $\int [/mm] f(s^-)\ [mm] dN_s=\sum_{\text{Sprungstellen von }N}f(s^-)$
[/mm]
Da N außerhalb von Sprungstellen konstant ist.
> und [s,N]=[s,s]=0.
Richtig.
> 2. Sehr gut, dann hebt sich das schonmal weg...
>
> 3. Also ich denke es gilt an den Sprungstellen:
> [mm]N_{s-}=N_s-1,[/mm] also:
>
> [mm]X_s-X_{s-}[/mm] = [mm]X_s-f(s-,N_{s-})[/mm] = [mm]X_s-f(s,N_{s-})[/mm] =
> [mm]X_s-e^{\displaystyle iu(N_s-1)-(e^{iu}-1)\lambda s}[/mm] =
> [mm]X_s-e^{\displaystyle -iu}X_s[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$=X_{s^-}(e^{iu}-1)$
Was fehlt jetzt noch:
1. $\frac{\partial X_{s^-}}{\partial N_t}=iuX_{s^-}$
2. $\frac{\partial X_{s^-}}{\partial t}=-\lambda(e^{iu}-1) X_{s^-}$
3. $\sum_{0<s<=t} \frac{\partial X_{s^-}}{\partial N_t} \Delta N_s = \sum_{\text{Sprungstellen}} iuX_{s^-}$
$X_t=X_0+\int_0^t \frac{\partial X_{s^-}}{\partial t}{\rm d}s+\int_0^t \frac{\partial X_{s^-}}{\partial N_t}{\rm d}N_s+\sum_{0<s<=t}\left( X_s-X_{s-} - \frac{\partial X_{s^-}}{\partial N_t} \Delta N_s \right)$
$=X_0+\int_0^t -\lambda(e^{iu}-1) X_{s^-} {\rm d}s+\underbrace{\int_0^t iuX_{s^-}{\rm d}N_s}_{=\sum_{\text{Sprungstellen}} iuX_{s^-}}+\sum_{\text{Sprungstellen}} X_{s^-}(e^{iu}-1)-\sum_{\text{Sprungstellen}} iuX_{s^-}$
also fallen nochmal 2 Summanden raus, und übrig bleibt:
$X_t=X_0+\int_0^t -\lambda(e^{iu}-1) X_{s^-}\ {\rm d}s+\underbrace{\sum_{\text{Sprungstellen}} X_{s^-}(e^{iu}-1)}_{=\int_0^t X_{s^-}(e^{iu}-1)\ {\rm d}N_s}=$
$=X_0+\int_0^t (e^{iu}-1) X_{s^-}( -\lambda\ {\rm d}s+{\rm d}N_s})=$
$=X_0+\int_0^t (e^{iu}-1) X_{s^-}\ {\rm d}\underbrace{(N_s-\lambda s)}_{=M_s}$
Vorne ist adaptiert, hinten ein Levy-Prozeß mit konstantem Erwartungswert, iirc reichte das schon für die Martingaleigenschaft.
ciao
Stefan
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Wow ... und nochmals Danke.
Ich habe meine Fehler bzgl. der quadratischen Variation von [mm] N_t [/mm] gesehen und deine Vorgehensweise, das zum Schluss auf ein stochastisches Integral mit Integrator [mm] N_s-\lambda\var{s}=M_s [/mm] zurückzuführen, ist genial und laut Aufgabenstellung ist [mm] M_s [/mm] sogar ein Martingal und damit ist halbwegs klar, dass [mm] X_t [/mm] ein Martingal ist.
Da [mm] X_s [/mm] messbar bzgl. [mm] \mathcal{F}_s [/mm] ist, erhalte ich auch sofort:
[mm] \mathbb{E}\left[\frac{X_t}{X_s}|\mathcal{F}_s\right] [/mm] = [mm] \frac{1}{X_s}\underbrace{\mathbb{E}\big[{X_t}|\mathcal{F}_s\big]}_{=X_s} [/mm] = 1.
Doch irgendwie fehlt mir jetzt trotzdem noch der Zusammenhang zur Aussage, dass [mm] N_t [/mm] ein Poissonprozess ist. Ich könnte also noch einen kleinen Tipp zur Vorgehensweise gebrauchen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 16.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Wow ... und nochmals Danke.
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> Ich habe meine Fehler bzgl. der quadratischen Variation von
> [mm]N_t[/mm] gesehen und deine Vorgehensweise, das zum Schluss auf
> ein stochastisches Integral mit Integrator
> [mm]N_s-\lambda\var{s}=M_s[/mm] zurückzuführen, ist genial und
> laut Aufgabenstellung ist [mm]M_s[/mm] sogar ein Martingal und damit
> ist halbwegs klar, dass [mm]X_t[/mm] ein Martingal ist.
Der Satz war iirc, ist Z cadlag und quadrat-integrierbares Martingal und [mm] $\xi$ [/mm] beschränkt und vorhersehbar, dann ist [mm] $\int \xi\ [/mm] dZ$ ein quadrat-integrierbares Martingal.
EDIT: [mm] $\xi$ [/mm] muß glaub ich sogar vorhersehbar sein. Da bei uns nur [mm] $X_{s^-}$ [/mm] auftaucht, macht es aber keinen Unterschied.
> Doch irgendwie fehlt mir jetzt trotzdem noch der
> Zusammenhang zur Aussage, dass [mm]N_t[/mm] ein Poissonprozess ist.
> Ich könnte also noch einen kleinen Tipp zur Vorgehensweise
> gebrauchen...
[mm] $E\left(e^{iuZ}\right)$ [/mm] ist die charakteristische Funktion einer ZV Z. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 So 16.05.2010 | | Autor: | Mr.Teutone |
Stimmt, hätte ich auch selbst drauf kommen können...
Es gilt [mm] \mathbb{E}\big[X_t\big] [/mm] = [mm] \mathbb{E}\big[e^{iuN_t}\big]e^{-\lambda t(e^{iu}-1)} [/mm] = 1 , wegen [mm] \mathbb{E}\big[X_t\big] [/mm] = [mm] \mathbb{E}\big[X_t|\mathcal{F}_0\big] [/mm] = [mm] X_0 [/mm] (Martingaleigenschaft)
Die Unabhängigkeit der Zuwächse funktioniert mit Hilfe des Tipps ganz genauso und damit ist die Aufgabe fertig. Also nochmals vielen Dank und ich wünsche einen schönen Rest-Sonntag.
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