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| Aufgabe | K [mm] \in C(\left[ a,b\right] [/mm] "integralkern", [mm] X=C(\left[ a,b \right] [/mm] , T: x->R sei durch
[mm] T_f [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{K(x)+f(x) dx} [/mm] definiert.
zu zeigen: [mm] \Rightarrow [/mm] T ist linear, stetig und es gilt: [mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{|(x)| dx} [/mm] |
Hallo ihr. Könnt ihr mir nochmal helfen?=)
ich weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll....man kann ja zunächst einmal das Integral aufspalten:
[mm] T_f [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{K(x) dx}+ \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
ob mir das jetzt weiterhilft?
des weiteren ist [mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] ja die Operatornorm: das heißt es gilt :
[mm] \parallel [/mm] T [mm] \parallel [/mm] =
sup [mm] \{\parallel Tx \parallel_x: x\inX, \parallel x \parallel \le 1\}.und [/mm] nu?=) Nun muss ich diese Definition ja irgendwie mit dem Integral in verbindung bringen und habe grade nicht so wirklich einen Plan wie es gehen soll..Bestimmt wieder gaaanz einfach;)
mhm..also man könnte nun evtl so weitermachen:
|Tf| [mm] =\integral_{a}^{b}{|K(x)|dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{|f(x)|dx}
[/mm]
ne ich glaube nicht das das so geht...oder? Kann mir jemand helfen?
Lg Sandra(schon wieder kurz vorm verzweifeln):=)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Sa 02.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> K [mm]\in C(\left[ a,b\right][/mm] "integralkern", [mm]X=C(\left[ a,b \right][/mm]
> , T: x->R sei durch
> [mm]T_f[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{K(x)+f(x) dx}[/mm] definiert.
> zu zeigen: [mm]\Rightarrow[/mm] T ist linear, stetig und es gilt:
> [mm]\parallel[/mm] T [mm]\parallel[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{|(x)| dx}[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\| [/mm] T [mm] \| [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] |K(x)| dx$, oder? Und bist du dir sicher, dass du $+$ meinst und nicht [mm] $\cdot$ [/mm] in der Definition von $T$? Wenn da wirklich $+$ steht, dann ist dies genau dann linear, wenn $K = 0$ ist. Und das war so sicher nicht gedacht. Also denke ich mal, du meinst $T f = [mm] \int_a^b [/mm] K(x) f(x) dx$ (dann hat das auch mehr mit dem ueblichen Sprachgebrauch von Integralkern zu tun). Und $X$ ist mit der Supremumsnorm ausgestattet?
> Hallo
> ihr. Könnt ihr mir nochmal helfen?=)
>
> ich weiß überhaupt nicht wo ich anfangen soll....man kann
> ja zunächst einmal das Integral aufspalten:
> [mm]T_f[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{K(x) dx}+ \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
> ob mir das jetzt weiterhilft?
Wenn $T f$ als [mm] $\int_a^b [/mm] K(x) f(x) dx$ definiert ist, nein.
Das es linear ist, kannst du genauso einfach nachrechnen wie in der anderen Frage von dir. Du musst nur benutzen, dass das Integral linear ist.
> des weiteren ist [mm]\parallel[/mm] T [mm]\parallel[/mm] ja die Operatornorm:
> das heißt es gilt :
> [mm]\parallel[/mm] T [mm]\parallel[/mm] =
> sup [mm]\{\parallel Tx \parallel_x: x\inX, \parallel x \parallel \le 1\}[/mm].und
> nu?=) Nun muss ich diese Definition ja irgendwie mit dem
> Integral in verbindung bringen und habe grade nicht so
> wirklich einen Plan wie es gehen soll..Bestimmt wieder
> gaaanz einfach;)
Es geht.
> mhm..also man könnte nun evtl so weitermachen:
> |Tf| [mm]=\integral_{a}^{b}{|K(x)|dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{|f(x)|dx}[/mm]
Nein. Das stimmt im Allgemeinen nicht. Es gilt ja auch nicht $0 = |0| = |1 + (-1)| = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2$.
Wenn $x [mm] \in [/mm] X$ ist mit [mm] $\| [/mm] x [mm] \| \le [/mm] 1$, d.h. $|x(t)| [mm] \le [/mm] 1$ fuer alle $t [mm] \in [/mm] [a, b]$, dann gilt ja [mm] $\| [/mm] T x [mm] \| [/mm] = [mm] \left| \int_a^b K(t) x(t) dt \right|$. [/mm] Das Integral kannst du nun nach oben abschaetzen: [mm] $\| [/mm] T x [mm] \| [/mm] = [mm] \left| \int_a^b K(t) x(t) dt \right| \le \int_a^b [/mm] |K(t)| [mm] \cdot [/mm] |x(t)| dt$. Und $|x(t)| [mm] \le [/mm] 1$, also [mm] $\| [/mm] T x [mm] \| \le \int_a^b [/mm] |K(t)| [mm] \cdot [/mm] |x(t)| dt [mm] \le \int_a^b [/mm] |K(t)| dt$.
Jetzt musst du nur noch zeigen, dass [mm] $\int_a^b [/mm] |K(t)| dt$ auch wirklich erreicht wird, entweder direkt durch ein $x$ oder durch eine Folge von $x$en, d.h. dass das Supremum also wirklich [mm] $\int_a^b [/mm] |K(t)| dt$ ist und nicht etwa echt kleiner.
Wenn du ein $x : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] so definierst, dass $x(t) = 1$ ist fuer $K(t) > 0$, $x(t) = -1$ fuer $K(t) < 0$ und $x(t) = 0$ sonst, dann gilt $K(t) x(t) [mm] \ge [/mm] 0$ fuer alle $t$, also insbesondere [mm] $\| [/mm] T x [mm] \| [/mm] = [mm] \left| \int_a^b K(t) f(t) dt\| = \int_a^b K(t) f(t) dt = \int_a^b |K(t)| dt$. Das Problem ist nun, dass $x$ nur dann stetig ist, wenn $K$ keine Nullstellen hat.
Also musst du $x$ durch geeignete stetige Funktionen $x_k : [a, b] \to \IR$ approximieren, so dass $\| T x_k \| \to \| T x \| = \int_a^b |K(t)| dt$ fuer $k \to \infty$. Du kannst dir ja mal ueberlegen, warum du das machen kannst.
LG Felix
PS: Geb dir bitte demnaechst mehr Muehe beim Aufschreiben der Aufgabe. Wie du gesehen hast, gab es in den Aufgabenstellungen immer noch genug Stellen, die fuer einen unbeteiligten Leser nicht klar waren.
[/mm]
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Erstmal vielen Dank. Es lag nicht an mir, sondern an meinem Script, dass ich das da faslch geschrieben habe. Im Übungsblatt stand es dann richtig...Tut mir leid. Das nächste gucke ich vorher genauer...Werde mir jetzt mal meine Gedanken dazu machen..
Tschüss
Sandra
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