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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Als Beispiel für einen Integritätsbereich, der nicht faktoriell ist, wollen wir den Ring [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] btrachten, also die Menge a+b * [mm] \wurzel{-5} [/mm] mit a,b [mm] \in \IZ, [/mm] mit den durch die Inklusion in [mm] \IC [/mm] induzierten Verknüpfungen.
a) Skizziere die Elemente von [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] in einem Koordinatensystem
b) Zeige: Die Einheiten von [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] sind gerade 1 und -1 und jedes der Elemente 2,3, 1+ [mm] \wurzel{-5}, [/mm] 1- [mm] \wurzel{-5} [/mm] ist irreduzibel.
Hinweis: Die in den komplexen Zahlen gültige Gleichung |z*z'| = |z|*|z'| ist nützlich.
c) Gib zwei verschiedene Zerlegungen von 6 in irreduzible Elemente an. Folgere daraus: Keines der Elemente 2,3, 1+ [mm] \wurzel{-5}, [/mm] 1- [mm] \wurzel{-5} [/mm] ist prim.
d) Zeige, dass das von 2 und 1+ [mm] \wurzel{-5} [/mm] erzeugte Ideal kein Hauptideal ist. |
Hallo!
Ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
zu a: Ehrlich gesagt, weiß ich nicht mal, wie der angegebene Integritätsbereich im Koordinatensystem aussehen soll.... Ich habe mir mal überlegt vielleicht lauter Punkte, die auf zur x-Achse parallelen Linien liegen, immer 5,10,15 usw cm auf der y Achse vom Nullpunkt entfernt?
zu b) erst muss ich ja mal zeigen, dass 1 und -1 die einzigen Einheiten sind, oder? Dann kann ich ja erst mal zeigen, dass 1 und -1 überhaupt Einheiten sind... Da hab ich einfach gezeigt, dass sie selbstinvers sind. Und jetzt muss ich ja noch zeigen, dass es keine anderen Einheiten gibt. Aber wie mach ich das? Kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke schonmal!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 13.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
bin neu hier, deshalb weiß ich nicht so recht, ob eine Antwort überhaupt noch sinnvoll ist.
Wie habt Ihr denn einen quadratischen Zahlbereich definiert?
An Hand dieser Definition sollte Dir dann klar sein, wie man das Ganze zeichnet. Wie stellst Du denn komplexe Zahlen dar (Gaußsche Zahlenebene)? Es besteht eine gewisse Ähnlichkeit.
Zu c): Multipliziere (1+sqrt(-5))(1-sqrt(-5)) aus, wie Du es auch z.B. in C machen würdest. Beachte, dass auch 6=2*3 gilt.
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 13.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Klar, eine Antwort ist noch sinnvoll  Hab die Frage ja erst gestern reingestellt.
Die komplexen Zahlen stell ich mir wie den [mm] \IR^{2} [/mm] vor. Da ist ja dann die y-Achse immer der Imaginärteil. Aber ich weiß jetzt nicht genau, was die [mm] \wurzel{-5} [/mm] dabei jetzt verändert bzw. ausmacht.
Hast du auch einen Tipp zu b?
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 13.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Die komplexen Zahlen stell ich mir wie den [mm]\IR^{2}[/mm] vor. Da
> ist ja dann die y-Achse immer der Imaginärteil. Aber ich
> weiß jetzt nicht genau, was die [mm]\wurzel{-5}[/mm] dabei jetzt
> verändert bzw. ausmacht.
es ist [mm] $\sqrt{-5} [/mm] = i [mm] \sqrt{5}$.
[/mm]
> Hast du auch einen Tipp zu b?
berechnen mal den betrag eines beliebigen elements deines rings. liegt das veilleicht immer in [mm] $\mathbb{Z}$? [/mm] was kann man dann über den betrag einer einheit aussagen?
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:50 So 13.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Okay, also der Betrag eines solchen Elements ist ja definiert als
|z| = [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}
[/mm]
Ist bei mir dann b eigentlich nur b, oder ist b= [mm] b*\wurzel{5}?
[/mm]
Auf jeden Fall ist |z| immer aus [mm] \IZ, [/mm] weil a und b aus [mm] \IZ [/mm] sind.
Für eine Einheit a muss dann gelten:
a * [mm] a^{-1} [/mm] = 1
-> |a| * [mm] |a^{-1}| [/mm] = |1| = 1
Da der Betrag nur in [mm] \IZ [/mm] liegt, kann der Betrag von a also nur 1 sein. also a nur 1 odere -1, und somit sind 1 und -1 die einzigen Einheiten.
Kann man das so sagen?
Im nächsten Schritt muss ich nun zeigen, dass die einzelnen Elemente irreduzibel sind. Kann ich dann hier gleich argumentieren?
Als Beispiel mit der 2.
Sei 2 = z*w
-> |2| = |z| * |w|
Da Betrag nur aus [mm] \IZ [/mm] sein, kann muss entweder |z| =1 sein oder |w| = 1 sein. Sei o.B.d.A |z| = 1 -> z ist 1 oder -1 -> z ist Einheit
-> 2 ist irreduzibel.
Kann ich so überall argumentieren?
Danke für den Tipp mit dem Betrag, dass er nur aus [mm] \IZ [/mm] sein kann! Hat echt was gebracht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 13.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Hmm, ich versteh doch noch nicht so ganz, warum der Betrag immer aus [mm] \IZ [/mm] ist?! Weil auch wenn a und b aus [mm] \IZ [/mm] sind, kann es ja trotzdem sein, dass [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 So 13.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Hmm, ich versteh doch noch nicht so ganz, warum der Betrag
> immer aus [mm]\IZ[/mm] ist?! Weil auch wenn a und b aus [mm]\IZ[/mm] sind,
> kann es ja trotzdem sein, dass [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] aus [mm]\IR[/mm]
> ist, oder?
du hast natürlich recht.
also betrachte besser die abbildung [mm] $\delta: \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \longrightarrow \mathbb{Z}; \; [/mm] a + [mm] b\sqrt{-5} \longmapsto [/mm] |a + [mm] b\sqrt{-5}|^2$ [/mm] - damit sollte es dann hoffentlich funktionieren.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 13.01.2008 | | Autor: | Leni-H |
Ja, so müsste es vielleicht gehen, macht das ganze aber leider schon viel schwieriger...
Also das mit den Einheiten bekomm ich trotzdem noch hin. Jetzt zu irreduzibel. Ich sage
2=z*w
-> |2| = |z| * |w|
-> [mm] 2^{2} [/mm] = [mm] |z|^{2} [/mm] * [mm] |w|^{2}
[/mm]
Wie kann ich jetzt hier weitermachen und sagen, dass entweder z ne Einheit ist oder w?
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hey leni,
zu aufgabe b)
um zu zeigen, dass 2,3, etc keine einheiten sind, musst du dir übelegen, dass aus z*z=2 => |z||z`|=2 bzw. [mm] |z|^2*|z`|^2=4 [/mm] alles mal ausmultiplizieren und dann überlegen welche möglichkeiten es dann für z und z`gibt!
mfg can
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
um etwas weiter auszuholen zunächst etwas zu quadr. Zahlbereichen. Es stehe R stellvertretend für Q oder Z, so kann man aus diesen beiden Ringen durch folgende Konstruktion vier weitere Ringe gewinnen. Wir betrachten die Menge aller geordneten Paare (a0, a1) [/mm] und (b0, b1) und notieren diese kurz durch α bzw. β. Sodann definiert man folgende Rechenregeln:
Gleichheit: α = β genau dann, wenn a0 = b0 und a1 = b1.
Addition: Elementeweise.
Multiplikation: α · β =(a0b0+a1b1m; a0b1+a1b0).
Man kann durch Rechnung zeigen, dass dadurch ein Ring mit Nullelement (0,0) und Einselement (0,1) erklärt wird. Durch (0,1)·(0,1) wird nahegelegt, dass man
- [mm]\sqrt{m}:=(0,1)[/mm] setzt.
Ferner besteht eine offensichtliche Bijektion zwischen dem Ringelement a und (a, 0). Dadurch ergibt sich für die Multiplikation die intuitive Regel
[mm]
\alpha \cdot \beta = (a_0 +a_1\sqrt{m}) \cdot (b_0+b_1\sqrt{m}) = (a_0b_0+a_1b_1m)+(a_0b_1+a_1b_0)\sqrt{m}.[/mm].
Die Wahl der Zahl m ist für die Eigenschaften des Ringes ganz entscheidend. Wählt man z.b. m:=-1, so ergibt sich gerade der Ring bzw. Körper der Gaußschen Zahlen [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{m}][/mm] bzw.[mm]\mathbb{Q}[\sqrt{m}][/mm] ein Integritätsring bzw. ein Körper. D.h. Dein Bsp. ist ein Integritätsring.
Weiterhin wichtig in diesem Kontext ist die so genannte Normfunktion [mm]\mathcal{N}: R \to \matbb{N}[/mm]. Dies ist eine definite Funktion, welche die Produktregel erfüllt. In diesem Fall ist sie definiert durch
[mm]\alpha \mapsto \mathcal{N}(\alpha):= |\alpha\bar{\alpha}|[/mm].
Ferner ist diese Funktion monoton.
Es gilt dann die Äquivalenz:
Jedes Element e ∈ R mit [mm]\mathcal{N}(e)=1[/mm] ist eine Einheit in R genau dann, wenn [mm]\mathcal{N}[/mm] eine monotone Normfunktion ist.
D.h. in einem qudratischen Zahlbereich [mm]\mathbb{Z}[\sqrt{m}][/mm] mit [mm]m\in \mathbb{Z} \setminus \{1\}[/mm] und quadratfrei sind genau diejenigen Elemente [mm]u+v\sqrt{m}[/mm] Einheiten, für die gilt:
[mm]u^2-mv^2 = \pm 1[/mm] . Das ist die sog. Pellsche Gleichung.
LG
Alex
Edit:
Sorry, ich komme mit dem System noch nicht so klar, deshalb habe ich wohl die Antwort falsch "eingeordnet".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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