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Forum "Integralrechnung" - Integration mit Substitution
Integration mit Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Sa 29.11.2008
Autor: newday

Aufgabe
Integriere ohne Ausmultiplizieren:

[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}= [/mm]

Ich denke mal man soll die Substitutionsmethode anwenden, habe aber meine Schwierigkeiten damit?

[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}= [/mm]
[mm] \integral{(u)^4 dx}= [/mm]

u=3x+1
u'=3

du/dx=3
dx=3/du

[mm] \integral{(u)^4 du}=\bruch{u^5}{5} [/mm]

Wie kommt es aber dass nun du/dx=3? Sollte es nicht (3x+1)' = 3 sein? Was hat das mit du zu tun?  Verstehe auch nicht was du/dy sein soll? 2 Differentiale dividiert durcheinander? Warum denn das?

        
Bezug
Integration mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Sa 29.11.2008
Autor: newday

ich meinte natürlich du/dx nicht du/dy.

Bezug
        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Sa 29.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo newday,

> Integriere ohne Ausmultiplizieren:
>  
> [mm]\integral{(3x+1)^4 dx}=[/mm]
>  Ich denke mal man soll die
> Substitutionsmethode anwenden, habe aber meine
> Schwierigkeiten damit?
>  
> [mm]\integral{(3x+1)^4 dx}=[/mm]
>  [mm]\integral{(u)^4 dx}=[/mm]
>  
> u=3x+1
>  u'=3
>  
> du/dx=3 [ok]
>  dx=3/du [notok]

Ui, das ist doch [mm] $dx=\frac{du}{3}$ [/mm]

>  
> [mm]\integral{(u)^4 du}=\bruch{u^5}{5}[/mm]

Nein, du bekommst nach der Substitution das Integral [mm] $\int{u^4 \ \frac{du}{3}}=\frac{1}{3}\cdot{}\int{u^4 \ du}$ [/mm]

>  
> Wie kommt es aber dass nun du/dx=3? Sollte es nicht (3x+1)'
> = 3 sein? Was hat das mit du zu tun?

Du hast substituiert mit einer Funktion $u=u(x)=3x+1$

Also ist [mm] $u'=u'(x)=\frac{du}{dx}=(3x+1)'=3$ [/mm]

> Verstehe auch nicht
> was du/dy sein soll? 2 Differentiale dividiert
> durcheinander? Warum denn das?

Das ist nur eine Schreibweise mit [mm] $\frac{du}{dy}$ [/mm] bezeichnest du die Ableitung der Funktion u nach der Variable y, du hast also eine Funktion $u(y)$ und leitest die ab: $u'(y)$, das schreibt man leger als [mm] $\frac{du}{dy}$, [/mm] dann kann man damit bequem rechnen.

Entsprechend wie oben mit der Substitutionsfunktion $u(x)$ ist [mm] $u'(x)=\frac{du}{dx}=3$, [/mm] also [mm] $\cdot{}dx$ [/mm] und [mm] $\cdot{}\frac{1}{3}$ [/mm] liefert

[mm] $dx=\frac{du}{3}$ [/mm]


LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Sa 29.11.2008
Autor: newday

Achso, d.h.:

zum Beispiel:

[mm] f(x)=3x^2 [/mm]
df/dx=6x

f'(x) = df/dx


[mm] \integral{(3x+1)^4 dx}= [/mm]

u(x)=3x+1
du/dx=u'(x)=3
dx=du/3

[mm] \integral{u^4 du/3}= [/mm]

[mm] \bruch{1}{3}*\integral{u^4 du}= [/mm]

[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{u^5}{5}=\bruch{(3x+1)^5}{15} [/mm]






Bezug
                        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Sa 29.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Achso, d.h.:
>  
> zum Beispiel:
>  
> [mm]f(x)=3x^2[/mm]
>  df/dx=6x [ok]
>  
> f'(x) = df/dx
>  
>
> [mm]\integral{(3x+1)^4 dx}=[/mm]
>  
> u(x)=3x+1
>  du/dx=u'(x)=3
>  dx=du/3 [ok]
>  
> [mm]\integral{u^4 du/3}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{3}*\integral{u^4 du}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{u^5}{5}=\bruch{(3x+1)^5}{15}[/mm] [daumenhoch]


So passt's!

LG
schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 29.11.2008
Autor: newday

Danke dir!

Jetz hab ich noch ein anderes Bsp. wo das ganze ein bisschen komplexer wird:

[mm] \integral_{4}^{9}{\bruch{dx}{1+\wurzel{x}}} [/mm]

Also wieder so:

[mm] u=\wurzel{x} [/mm]
[mm] u^2=x [/mm]

dx/du=2u -> dx=2u*du


[mm] \integral_{4}^{9}{\bruch{2u}{1+u}}*du= [/mm]

[mm] =\bruch{2u^2}{2*(1+u^2/2)}=\bruch{4u^2}{8u^2} [/mm]
[mm] =\bruch{4*9^2}{8*9^2}-\bruch{4*4^2}{8*4^2}=0 [/mm]

Was hab ich denn hier schon wieder versemmelt? Darf man das so nicht rechnen? :(


Bezug
                                        
Bezug
Integration mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Sa 29.11.2008
Autor: newday

Ok, ich sehe gerade in der Formelsammlung:

[mm] \integral{1/f(x) dx}= [/mm] 1*ln(f(x))


muss ich also so rechnen?:

[mm] \integral_{9}^{4}{\bruch{2u}{(1+u)} du}=2u*ln(1+u) [/mm] | "von 9 bis 4"


Kommt aber auch nicht ganz das richtige raus ? was mach ich denn hier noch falsch?

Bezug
                                                
Bezug
Integration mit Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo newday,

> Ok, ich sehe gerade in der Formelsammlung:
>  
> [mm]\integral{1/f(x) dx}=[/mm] 1*ln(f(x))
>  
>
> muss ich also so rechnen?:
>  
> [mm]\integral_{9}^{4}{\bruch{2u}{(1+u)} du}=2u*ln(1+u)[/mm] | "von 9
> bis 4"
>  
>
> Kommt aber auch nicht ganz das richtige raus ? was mach ich
> denn hier noch falsch?


Zerlege erstmal wie folgt:

[mm]\bruch{2u}{1+u}=\bruch{2*\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u}[/mm]

Dann ist

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2u}{1+u} \ du}=\integral_{}^{}{2 \ du}-2\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+u} \ du}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo newday,

> Danke dir!
>  
> Jetz hab ich noch ein anderes Bsp. wo das ganze ein
> bisschen komplexer wird:
>  
> [mm]\integral_{4}^{9}{\bruch{dx}{1+\wurzel{x}}}[/mm]
>  
> Also wieder so:
>  
> [mm]u=\wurzel{x}[/mm]
>  [mm]u^2=x[/mm]
>  
> dx/du=2u -> dx=2u*du
>  
>
> [mm]\integral_{4}^{9}{\bruch{2u}{1+u}}*du=[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2u^2}{2*(1+u^2/2)}=\bruch{4u^2}{8u^2}[/mm]
>  [mm]=\bruch{4*9^2}{8*9^2}-\bruch{4*4^2}{8*4^2}=0[/mm]
>   Lösung [mm]x\left(t\right)[/mm]
> Was hab ich denn hier schon wieder versemmelt? Darf man das
> so nicht rechnen? :(
>  


Die Stammfunktion stimmt nicht.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Sa 29.11.2008
Autor: newday

Sehe ich auch gerade, nur wie bildet man sie richtig von so einem Bruch? 2u*ln(1+u) ? Stimmt aber auch nicht?

Bezug
                                                        
Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo newday,

> Sehe ich auch gerade, nur wie bildet man sie richtig von so
> einem Bruch? 2u*ln(1+u) ? Stimmt aber auch nicht?


Nee, das stimmt auch nicht.

Wie man sie richtig bildet, habe ich hier geschrieben.


Gruß
MathePower

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Bezug
Integration mit Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Sa 29.11.2008
Autor: newday

sry, hab ich nicht mehr gesehen ;) thx

Das Ergebniss stimmt mit der Lösung überein *freu*

Nur wie kommst du auf:

[mm] =\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u} [/mm]

sieht nicht äquivalent aus, aber genial...

sollte es nicht so heißen?
[mm] \bruch{2u}{1+u}=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=\bruch{2}{1+u}-2 [/mm]



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Bezug
Integration mit Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Sa 29.11.2008
Autor: MathePower

Hallo newday,



> sry, hab ich nicht mehr gesehen ;) thx
>  
> Das Ergebniss stimmt mit der Lösung überein *freu*
>  
> Nur wie kommst du auf:
>  
> [mm]=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=2-\bruch{2}{1+u}[/mm]


In dem ich eine  Polynomdivision gemacht habe.


>  
> sieht nicht äquivalent aus, aber genial...
>  
> sollte es nicht so heißen?
>  
> [mm]\bruch{2u}{1+u}=\bruch{2\cdot{}\left(1+u\right)-2}{1+u}=\bruch{2}{1+u}-2[/mm]
>  
>  


Nein, da [mm]\left(-2\right)*u \not=2u[/mm]


Gruß
MathePower

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