Integration durch Substitution < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 13.02.2013 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Bei der Integrationssubstitution wird ein bestimmter Teil einer zu Integrierenden Funktion durch u ersetzt.
u = g(x)
Diese Teilfunktion wird Differenziert:
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = g'(x) --> dx = [mm] \bruch{du}{g'(x)}
[/mm]
Jetzt wird Substituiert, Integriert und dann wieder Rücksubstituiert.
Dazu ein kleines Beispiel, bei dem ich allerdings die einzelnen Zwischenschritte weglasse:
Es handelt sich um ein unbestimmtes Integral
I = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{6x^{6}}{(1-4x^{3})^{3}} dx} [/mm] = ?
u = [mm] 1-4x^{3}; \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] -12x^{2} [/mm] ; dx = [mm] -\bruch{du}{12x^{2}}
[/mm]
Nach dem Substituieren und vereinfachen erhält man folgendes:
[mm] -\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{u^{3} du} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{u^{2}} [/mm] + C
C ist bekanntermaßen die passende Konstante, die beim INtegrieren angeschrieben wird.
Kommen wir nun zu meiner Frage: |
Was ist aus dem "du" geworden? Wenn man keine Ahnung davon hätte würde man denken können, dass aus dem "du" die Konstante "C" geworden ist, was ich jedoch bezweifle...
Fällt beim Integrieren das du einfach weg?
Bitte lichtet meine Nebel :)
Grüße
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Hallo,
vorneweg: deine Frage hat mit der Technik der Substitution rein überhaupt nichts zu tun.
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese Wikipedia-Seite zum Riemannschen Integral an.
Wenn man die Ober- und Untersummen bildet und wählt eine äquidistante Zerlegung, dann bezeichnet man ja die Breite der Rechteckstreifen mit [mm]\Delta{x}[/mm]. Die Flächeninhalte der Streifen werden bekanntlich aufsummiert, so dass wir etwa die Untersumme schreiben können als
[mm]U=\summe_{i=1}^{n} f(x_i)*\Delta{x}[/mm]
(wobei unter [mm] f(x_i) [/mm] hier das Infimum von f im Bereich des betreffenden Streifens zu verstehen ist).
Das Integral entsteht ja jetzt durch den Grenzübergang [mm] n->\infty, [/mm] d.h., die Streifen werden unendlich dünn, ihre 'Breite' wird jetzt durch das Differenzial dx repräsentiert und dieses verschwindet natürlich, sobald man intgeriert hat.
Ich verweise in diesem Zusammenhang immer gerne darauf, dass man in der angewandten Mathematik oft keinerlei Hemmungen hat, etwas wie
[mm] x*dx=\bruch{x^2}{2}+C
[/mm]
zu schreiben, insofern könnte man etwas überspitzt sagen, dass die Multiplikation mit dem Differential die eigentliche Rechenoperation beim Integrieren ist, während das Integralzeichen eher schmückendes Beiwerk ist, ggf noch dazu da, um das Integrationsintervall anzugeben. Wie gesagt, das ist übertrieben einseitig, aber es soll die Bedeutung des Differenzials im Integral unterstreichen.
Insbesondere hat also das du in deiner Frage mit der Integrationskonstante nichts zu tun.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mi 13.02.2013 | | Autor: | magics |
Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen :)
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