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Forum "Integralrechnung" - Integralrechnung
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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{\pi/3}{f(\bruch{cos(3x)}{2}) dx} [/mm]

Lösung = 0

Hi

ich hab dieses beispiel mal so angefangen zu rechnen, dass ich den Bruch auflöse indem ich aus /2 --> *1/2 mache! dann kann ich die multiplikative konstante vor das integral ziehen:

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi/3}{f(cos(3x)) dx} [/mm]

dann hab ich die stammfunktion von cos(3x) gebildet --> sin(3x)
und dann hab ich die obergrenze minus der untergrenze gerechnet!

kommt aber das falsche raus! ich schätz mal ich hab einen fehler bei der stammfunktion, oder? kann mir jemand helfen/zeigen wie ich das rechnen muss büddde

lg

        
Bezug
Integralrechnung: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Mi 24.06.2009
Autor: informix

Hallo flo0,

> [mm]\integral_{0}^{\pi/3}{f(\bruch{cos(3x)}{2}) dx}[/mm]
>  
> Lösung = 0
>  Hi
>  
> ich hab dieses beispiel mal so angefangen zu rechnen, dass
> ich den Bruch auflöse indem ich aus /2 --> *1/2 mache! dann
> kann ich die multiplikative konstante vor das integral
> ziehen:
>  
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral_{0}^{\pi/3}{f(cos(3x)) dx}[/mm]

Grundsätzlich ist das Vorgehen korrekt, aber ich verstehe nicht, welchen Term du integrieren möchtest: f(cos(3x)) ?? [verwirrt]
Oder meinst du: [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx} [/mm] ??

>  
> dann hab ich die stammfunktion von cos(3x) gebildet -->
> sin(3x)

leider [notok]
Du hast übersehen, dass das Argument von [mm] \cos(3x) [/mm] seinerseits eine Funktion ist.
Hier ist also MBpartielle Integration bzw. MBIntegration durch lineare Substitution angesagt.

>  und dann hab ich die obergrenze minus der untergrenze
> gerechnet!
>  
> kommt aber das falsche raus!

kein Wunder - bei diesem Verfahren.

> ich schätz mal ich hab einen
> fehler bei der stammfunktion, oder? kann mir jemand
> helfen/zeigen wie ich das rechnen muss büddde
>  
> lg


Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

$ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx} [/mm] $

das würde ich gerne integrieren

was ist die stammfunktion von cos(3x)

[mm] sin(3x)*\bruch{3x^2}{2} [/mm] ??

LG

Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mi 24.06.2009
Autor: fencheltee


> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx}[/mm]
>  
> das würde ich gerne integrieren
>  
> was ist die stammfunktion von cos(3x)

[mm] \integral_{}^{}{cos(3x) dx} [/mm] dann substituierst du z=3x [mm] \Rightarrow [/mm] dz=3dx [mm] \Rightarrow dx=\frac{dz}{3} [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1}{3}\integral_{}^{}{cos(z) dz} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*sin(z) [/mm] +c
rücksubstitution:
z=3x:
[mm] \Rightarrow \frac{1}{3}*sin(3x) [/mm]

die grenzen kannst du entweder mitsubstituieren oder mitschleifen, (aber dann immer x=.. dranschreiben). wenn du das 1-2 mal gemacht hast, wirst du das substituieren aber als überflüssig erachten ;)

>  
> [mm]sin(3x)*\bruch{3x^2}{2}[/mm] ??

oh gott nein ;)

>  
> LG


Bezug
                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Mi 24.06.2009
Autor: abakus


> > [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx}[/mm]
>  >  
> > das würde ich gerne integrieren
>  >  
> > was ist die stammfunktion von cos(3x)
>  
> [mm]\integral_{}^{}{cos(3x) dx}[/mm] dann substituierst du z=3x
> [mm]\Rightarrow[/mm] dz=3dx [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{3}[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}\integral_{}^{}{cos(z) dz}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{3}*sin(z)[/mm] +c
> rücksubstitution:
> z=3x:
>  [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}*sin(3x)[/mm]
>
> die grenzen kannst du entweder mitsubstituieren oder
> mitschleifen, (aber dann immer x=.. dranschreiben). wenn du
> das 1-2 mal gemacht hast, wirst du das substituieren aber
> als überflüssig erachten ;)
>  
> >  

> > [mm]sin(3x)*\bruch{3x^2}{2}[/mm] ??
>  oh gott nein ;)
>  >  
> > LG
>  

Hallo,
wie du selbst schon mal angedeutet hast, soll das Ergebnis Null sein.
Das ist sofort sichtbar, denn die Funktion geht im betrachteten Intervall genau vom Hoch- zum nächsten Tiefpunkt und hat damit aufgrund der Form des Kosinusgraphen gleich viel Fläche ober- und unterhalb der x-Achse. Positive und negative Bestandteile des Integrals heben sich also vollständig auf.
Gruß Abakus


Bezug
                                
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

also gut, ich hab es jz auch schon soweit zusammen gebracht, dass ich die Stammfunktion bilde allerdings kommt bei mir dam schluss folgendes heraus:

angabe:
[mm] \integral_{\pi/3}^{0}{ \bruch{cos(3x)}{2}dx} [/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{cos(3x) dx} [/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{\bruch{1}{3}sin(3x) dx} [/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\integral_{\pi/3}^{0}{sin(3x) dx} [/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*sin(3x) [/mm] + C

wie es zu 1/3*sin(3x) kommt hab ich übrigens verstanden...(substitutionsmethode)

und jetzt die Grenzen einsetzen! (ober minus unter) und ausrechnen oder?

lg und danke für eure hilfe



Bezug
                                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Mi 24.06.2009
Autor: fencheltee


> also gut, ich hab es jz auch schon soweit zusammen
> gebracht, dass ich die Stammfunktion bilde allerdings kommt
> bei mir dam schluss folgendes heraus:
>  
> angabe:
>  [mm]\integral_{\pi/3}^{0}{ \bruch{cos(3x)}{2}dx}[/mm]
>  =
>  [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{cos(3x) dx}[/mm]
>  =
>  [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{\bruch{1}{3}sin(3x) dx}[/mm]
>  
> =
>  [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\integral_{\pi/3}^{0}{sin(3x) dx}[/mm]
>  
> =
>  [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*sin(3x)[/mm] + C

das +c entfällt bei bestimmten integralen

>  
> wie es zu 1/3*sin(3x) kommt hab ich übrigens
> verstanden...(substitutionsmethode)

[ok]

>  
> und jetzt die Grenzen einsetzen! (ober minus unter) und
> ausrechnen oder?

[ok]

>  
> lg und danke für eure hilfe
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

es sollte übrigens die Obergrenze [mm] \pi/3 [/mm] sein und die Untergrenze 0 sein!

bei mir kommt da aber nicht das richtige raus

0.009133944 raus
=(

lg

Bezug
                                                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Mi 24.06.2009
Autor: fencheltee


> es sollte übrigens die Obergrenze [mm]\pi/3[/mm] sein und die
> Untergrenze 0 sein!
>  
> bei mir kommt da aber nicht das richtige raus
>  
> 0.009133944 raus

dann hast du aber einen schlechten taschenrechner! oder gerundet, wo man es nicht tun sollte?!
wenn du aber die obergrenze einsetzt, kommst du ja zu [mm] c*sin(\pi), [/mm] und dass das 0 ergibt, sollte klar sein ;)
mit der unteren grenze 0 ergibt das c*sin(0), was auch 0 ergibt.
ergo ist die fläche: 0-0 = 0

>  =(
>  
> lg


Bezug
                                                                
Bezug
Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

c ist in dem fall 1/6 oder ?

lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 24.06.2009
Autor: fencheltee


> c ist in dem fall 1/6 oder ?

richtig! ;-) ich war nur zu faul zurückzublättern bzw. mich zu erinnern

>  
> lg

Bezug
                                                                                
Bezug
Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mi 24.06.2009
Autor: flo0

alles klar! vielen dank =)

lg

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