Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
| Aufgabe | Man berechne folgendes Integral!
[mm] \integral {[cos(3x+1)]^2 dx} [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe bereitet mir totales Kopfzerbrechen.
Ich hab jetzt 3 Lösungen, könnte mir vielelicht jemand helfen?!?!?
1) [mm] \integral {[cos(3x+1)]^2 dx} [/mm] = (sin(3x+1)+cos(3x+1)+3x+1)/6
2) [mm] \integral {[cos(3x+1)]^2 dx} [/mm] = (x/2+1/6+sin(6x+2))/12
3) [mm] \integral {[cos(3x+1)]^2 dx} [/mm] = 1/12(6x+sin(6x+2)+2)
dankeschön
lg Moni
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnung-des-Integrals-11
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Hallo Moni,
> Man berechne folgendes Integral!
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> [mm]\integral {[cos(3x+1)]^2 dx}[/mm]
> Hallo,
>
> die Aufgabe bereitet mir totales Kopfzerbrechen.
>
> Ich hab jetzt 3 Lösungen, könnte mir vielelicht jemand
> helfen?!?!?
>
> 1) [mm]\integral {[cos(3x+1)]^2 dx}[/mm] =
> (sin(3x+1)+cos(3x+1)+3x+1)/6
>
> 2) [mm]\integral {[cos(3x+1)]^2 dx}[/mm] = (x/2+1/6+sin(6x+2))/12
>
> 3) [mm]\integral {[cos(3x+1)]^2 dx}[/mm] = 1/12(6x+sin(6x+2)+2)
Letzteres stimmt, siehe zB ![[]](/images/popup.gif) hier
Für Genaueres poste deine Rechnung(en) ...
>
> dankeschön
>
> lg Moni
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Berechnung-des-Integrals-11
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
hallihallo=)
oh nee, klasse.... da hat mir natürlich nur jemand die Lösung gegeben und nicht den weg -.-
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Sierra |
Sei doch bitte noch unverschämter...
Gruß Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallihallo=)
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> oh nee, klasse.... da hat mir natürlich nur jemand die
> Lösung gegeben und nicht den weg -.-
als erstes bitte ich Dich, Dich nochmal mit den Forenregeln zu befassen. Insbesondere die Punkte 1., 2. und 7. sind für Dich interessant. Und so ganz neu im Forum bist Du ja nicht, hast also schon wenigstens einige Threads eröffnet, und falls dies bis dato nicht geschehen ist, bitte ich Dich nun aufgrund Deiner obigen Reaktion, dies nachzuholen! (Insbesondere solltest Du bedenken, dass der MR eben keine Lösungsmaschine ist, sondern eine Hilfe zur Selbsthilfe, was bedeutet, dass wir Dir i.a. gerne helfen, den Lösungsweg zu erarbeiten. Nur, wenn alle Stricke reißen sollten (was Du aber nicht provozieren solltest, denn man erkennt schon, ob jemand Eigeninitiative zeigt oder einfach nur, weil er/sie keine Lust hat, selber nachzudenken, weiterfragt)), kann es schonmal passieren, dass wir Dir auch den kompletten Lösungsweg posten.
So, zurück zur Aufgabe:
[mm] $$\int [\cos(3x+1)]^2\;dx$$
[/mm]
ist zu berechnen. Es gilt [mm] $[\cos(3x+1)]^2=\cos(3x+1)\;*\;\cos(3x+1)$ [/mm] und damit liegt es zumindest schonmal nahe, den Ansatz mittels partieller Integration/Produktintegration zu versuchen. Ob es zielführend ist, weiß ich nicht, aber jetzt bist Du mal an der Reihe!
P.S.:
Falls ihr schonmal
[mm] $$\int \sin^2(x)\;dx$$
[/mm]
berechnet habt (mithilfe des trigonometrischen Pythagoras und part. Int. läuft das z.B., wenn mich mein Gedächntnis nicht trübt), dann kannst Du dieses Ergebnis (und den trig. Pythagoras) auch für Deine Aufgabe verwenden, nachdem Du dort eine kleine Substitution durchgeführt hast.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> So, zurück zur Aufgabe:
> [mm]\int [\cos(3x+1)]^2\;dx[/mm]
> ist zu berechnen. Es gilt
> [mm][\cos(3x+1)]^2=\cos(3x+1)\;*\;\cos(3x+1)[/mm] und damit liegt es
> zumindest schonmal nahe, den Ansatz mittels
> partieller Integration/Produktintegration
> zu versuchen. Ob es zielführend ist,
Das ist es in der Tat und geht sehr schnell
> weiß ich nicht, aber
> jetzt bist Du mal an der Reihe!
>
> Gruß,
> Marcel
@ Moni:
stelle konkrete Fragen und zeige Ansätze, die Frage in deinem Ausgangspost bezog sich doch darauf, die richtige Lösung auszumachen, ich lese nichts von "wie integriert man das...?"
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
[mm] cos^2(x) [/mm] = 1/2 +1/2 * cos(2x)
[mm] cos^2(3x+1) [/mm] = 1/2 + 1/2 cos(2*(3x+1)) = 1/2 + 1/2 cos(6x+2)
[mm] \integral cos^2 [/mm] (3x+1)dx = 1/2 [mm] \integral [/mm] * dx + 1/2 [mm] \integral [/mm] cos(6x+2) dx
= x/2 + 1/12 * [mm] \integral [/mm] 6 * cos(6x+2) dx
= x/2 + (sin(6x+2))/12 + C
so aber jetzt passt ja irgendwie das Ergebnis nicht mit dem anderen überein oder? Oder muss man das noch umschreiben?!?
lg Moni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]cos^2(x)=1/2+1/2⋅cos(2⋅x)[/mm]
>
> [mm]cos^2(3⋅x+1)=1/2+1/2⋅cos(2⋅(3⋅x+1))=1/2+1/2⋅cos(6⋅x+2)[/mm]
>
> ∫cos2(3⋅x+1)⋅dx=1/2∫⋅dx+1/2⋅∫cos(6⋅x+2)⋅dx
>
>
> =x/2+1/12⋅∫6⋅cos(6⋅x+2)⋅dx=x2+sin(6⋅x+2)12+C
>
> so hab die jetzt gefragt die mir das geschickt hat und sie
> hat mir das gegeben.... bin jetzt bloß irritiert weil das
> ja nicht die lösung war, oder doch?!? ist das bloß nochmal
> umgeschrieben worden?
aus welchem Grund gebe ich Dir einen Tipp, wenn Du ihn nicht befolgst? Woran hapert es? Am Grundlagenwissen?
Du reagierst so "Der MR ist keine Lösungsmaschine, aha..." ... "such ich mir 'ne andere Lösungsmaschine und lass' die Lösung mal im MR nochmal kontrollieren."
Kannst Du die obigen Zeilen/Rechnungen überhaupt erklären? Wie willst Du solche Aufgaben jemals in einer Prüfung/Klausur selbstständig bearbeiten?
Und die Forenregeln hast Du anscheinend schon wieder gekonnt ignoriert... Aber ich kann auch gerne öfters darauf verweisen, wenn es sein muss; da kann ich auch stur werden/sein. Genauso wie Du hier zur Zeit. 
Tipp: Handle mit Bedacht!
P.S.:
Wie weit bist Du (ja, Du!!!) denn mit den bisherigen Tipps gekommen? Wo hängst Du bzw. wo kommst Du nicht weiter?
Ich würde also gerne Deine bisherigen Rechnungen sehen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
hey,
also eigentlich versuche ich auch immer hier mitzumachen, obwohl ich es nicht kann und auch nicht wirklich verstehe,a ber ich versuch es....
wenn du die anderen Posts anguckst sieht man das eigentlich auch....
und natürlich hab ich keine Grundlagen.... ich hasse Mathe, ich bin froh wenn der Mist endlich mal aufhört, trotzdem versuch ich es trotzdem...
okay jetz hier hab ich vielleicht nichts außer die Lösungen beigesteuert.... aber ich versteh nicht wie die auf die Lösungen gekommen sind.... und allein bekomm ich es nun mal auch nicht hin....
tut mir leid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Moni,
>
> hey,
>
> also eigentlich versuche ich auch immer hier mitzumachen,
> obwohl ich es nicht kann und auch nicht wirklich verstehe,a
> ber ich versuch es....
> wenn du die anderen Posts anguckst sieht man das
> eigentlich auch....
so genau hab' ich mich jetzt nicht damit beschäftigt.
> und natürlich hab ich keine Grundlagen.... ich hasse Mathe,
> ich bin froh wenn der Mist endlich mal aufhört, trotzdem
> versuch ich es trotzdem...
> okay jetz hier hab ich vielleicht nichts außer die
> Lösungen beigesteuert.... aber ich versteh nicht wie die
> auf die Lösungen gekommen sind.... und allein bekomm ich es
> nun mal auch nicht hin....
Darum geht es nicht. Du musst nichts alleine hinbekommen. Aber es bringt Dir auch nichts, wenn Du den Lösungsweg nur blind "abschreibst oder anstarrst", und nicht verstehst, was da warum wie getan wurde. Ein gewisses Grundlagenwissen muss nunmal vorhanden sein. Hier solltest Du mindestens mal wissen, was eine Stammfunktion ist und Dich dann entweder mit partieller Integration oder den Additionstheoremen beschäftigt haben (am besten beides), um mindestens einen der beiden Tipps mal umsetzen zu können.
> tut mir leid
Muss es nicht. Es sollte Dir nur Leid tun, wenn Du einfach nur Lösungen/Lösungswege abpinnst, ohne diese zu verstehen. Ohne Eigenarbeit läuft im Studium sehr sehr wenig bis nichts.
Natürlich können wir Dir jetzt hier eine Musterlösung hinklatschen, aber was hast Du davon, wenn Du sie dann nicht verstehen/nachvollziehen kannst, weil Dir die Grundlagen dazu fehlen? Für Dich ist es an der Zeit, diese nachzuarbeiten. Und ich bin mir sicher, wenn Du entsprechende Grundlagen hast und dann so nach und nach auch mal kleinere Erfolgserlebnisse (welche dann evtl. doch wenigstens kleines Interesse wecken und Dich mit viel Glück dann auch ein klein wenig motivieren ), wird sich Dein Hass vll. nicht ganz legen, wenigstens aber sicherlich ein klein wenig reduzieren. Du musst die Mathematik ja nicht lieben, aber Du solltest nichts verachten, was Du nicht wirklich kennst bzw. wo Du Dir noch nicht mal die Mühe gemacht hast, es näher/besser kennenzulernen. Außerdem kommst Du sicher im Studium auch an der ein- oder anderen "unangenehmen Sache" nicht vorbei, und dann solltest Du wenigstens versuchen, Dir Mühe zu geben und das Beste daraus zu machen.
Nichts für Ungut, ich meine es nicht böse, sondern ich sage Dir das halt jetzt so bzgl. der Reaktion und Erklärung Deinerseits in diesem Thread. Was Du daraus für Dich mitnimmst, bleibt natürlich Dir überlassen.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich sehe gerade, daß Du hier ja genau den Tip verwendest, den Loddar Dir 12min später gibt.
> [mm]cos^2(x)[/mm] = 1/2 +1/2 * cos(2x)
Ja, das gilt nach den Additionstheoremen.
>
> [mm]cos^2(3x+1)[/mm] = 1/2 + 1/2 cos(2*(3x+1)) = 1/2 + 1/2 cos(6x+2)
Genau.
>
> [mm]\integral cos^2[/mm] (3x+1)dx = 1/2 [mm]\integral[/mm] * dx + 1/2 [mm]\integral[/mm] cos(6x+2) dx
>
> = x/2 + 1/12 * [mm]\integral[/mm] 6 * cos(6x+2) dx
>
> = x/2 + (sin(6x+2))/12 + C
Richtig.
>
> so aber jetzt passt ja irgendwie das Ergebnis nicht mit dem
> anderen überein oder?
Mit welchem?
Mit [mm] \integral [/mm] ...= 1/12(6x+sin(6x+2)+2) ?
Es ist 1/12(6x+sin(6x+2)+2)= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin(6x+2)}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6},
[/mm]
und bis auf das Sechstel am Ende stimmen die beiden doch fantastisch überein..
Stammfunktionen sind eindeutig bis auf eine Konstante, Du könntest am Ende auch +4711 stehen haben.
Bedenke, daß das konstante Glied beim Ableiten wegfällt.
Man schreibt daher
[mm] \integral cos^2(3x+1) [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin(6x+2)}{12} [/mm] +C,
es wäre
[mm] \integral cos^2(3x+1) [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin(6x+2)}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm] +C
genauso richtig,
und die kleinen Schlamperles schreiben auch
[mm] \integral cos^2(3x+1) [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin(6x+2)}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
oder
[mm] \integral cos^2(3x+1) [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] \bruch{sin(6x+2)}{12} [/mm] .
Das mit der Integrationskonstante bei unbestimmten Integralen muß man halt wissen, wenn man eigene Ergebnisse mit denen aus Formelsammlungen oder mit dem, was Wolfram einem errechnet hat, vergleicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallihallo=)
>
> oh nee, klasse.... da hat mir natürlich nur jemand die
> Lösung gegeben und nicht den weg -.-
Genau wie Du
FRED
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Hallo Moni!
Es gibt auch einen Weg ohne partielle Integration, wenn man zunächst folgendes Additionstheorem anwendet:
[mm] $$\cos^2(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos(2z)+1}{2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Hallo,
also ich bekomm das irgendwie nur mit Substitution hin....
hier meine Versuche....
z= 3x+1
dz/dx=3
dx=1/3dz
[mm] \integral cos^2 [/mm] z 1/3dz = 1/3 [mm] \integral cos^2 [/mm] z dz
= 1/3[1/2z+1/4sin z]
= 1/3 [1/2(3x+1)+1/4sin2(3x+1)]
=1/3[3/2x+1/2+1/4sin(6x+2)]
=1/2+1/6+1/12sin(6x+2)
=(x/2+1/6+sin(6x+2))/12
aber das soll ja falsch sein =(
lg Moni
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> Hallo,
>
> also ich bekomm das irgendwie nur mit Substitution hin....
Hallo,
hast Du's denn mal mit Loddars Umformung probiert?
Damit wird's ganz einfach.
Eine Stammfunktion von cos(2z) fällt Dir bestimmt schnell ein.
> hier meine Versuche....
>
> z= 3x+1
> dz/dx=3
> dx=1/3dz
>
> [mm]\integral cos^2[/mm] z 1/3dz = 1/3 [mm]\integral cos^2[/mm] z dz
Soweit ist das richtig.
Wie bist Du jetzt auf die folgende Zeile gekommen?
Das kann ich nicht erkennen, es ist aber richtig.
> = 1/3[1/2z+1/4sin z]
> = 1/3 [1/2(3x+1)+1/4sin2(3x+1)]
> =1/3[3/2x+1/2+1/4sin(6x+2)]
> =1/2x+1/6+1/12sin(6x+2)
Bis hierher richtig
> =(x/2+1/6+sin(6x+2))/12
Hier müßte es richtig =x/2+1/6+(sin(6x+2))/12 heißen.
Mit [mm] F_0(x)=x/2+1/6+(sin(6x+2))/12 [/mm] hast Du nun eine Stammfunktion von [mm] cos^2(3x+1) [/mm] gefunden,
und man weiß jetzt, daß die Stammfunktionen von [mm] cos^2(3x+1) [/mm] die Gestalt
F(x)=x/2+1/6+(sin(6x+2))/12 + D =x/2+(sin(6x+2))/12 +1/6+ D=x/2+(sin(6x+2))/12 +C
haben, daß also
[mm] \integral \cos^2(3x+1)dx=x/2+(sin(6x+2))/12 [/mm] +C.
Gruß v. Angela
>
> aber das soll ja falsch sein =(
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