Integral berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 12.12.2017 | | Autor: | Filza |
[mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{y} e^{-y-\bruch{x}{y}} [/mm] dx
Wie kann man dieses Integral berechnen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{y} e^{-y-\bruch{x}{y}}[/mm] dx
>
> Wie kann man dieses Integral berechnen?
Das ist ein recht einfaches uneigentliches Integral.
Bedenke zunächst, dass y konstant ist, da nach x integriert wird.
Dann führst du am besten ersteinmal eine variable obere Grenze z ein und berechnest
[mm]J(z)= \int_{0}^{z}{ \frac{1}{y}e^{-y-x/y} dx}=\frac{1}{y}\int_{0}^{z}{ e^{-y-x/y} dx}[/mm]
Wenn du das hast, dann berechne
[mm]\int_{0}^{\infty}{ \frac{1}{y}e^{-y-x/y} dx}= \lim_{z\rightarrow\infty}J(z) [/mm]
und du bist fertig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 12.12.2017 | | Autor: | Filza |
Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
Also man hätte dann [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 12.12.2017 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
> Also man hätte dann [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy}[/mm]
>
im Prinzip ja. Eine Stammfunktion gibt es zu dieser Funktion aber nicht, zumindest findet meine Mathe-Software keine.
Wenn Du Dich auf einen Wert für x festlegst kannst Du es mal numerisch versuchen.
Gruß,
notinX
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:11 Di 12.12.2017 | | Autor: | Filza |
also ich musste in der Aufgabenstellung zeigen, dass es sich um eine Dichtefunktion handelt. Den Integral nach x habe ich berechnet und der Integral nach y müsste eigentlich existieren.
Hat jemand eine Idee wie man die berechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Di 12.12.2017 | | Autor: | notinX |
> also ich musste in der Aufgabenstellung zeigen, dass es
> sich um eine Dichtefunktion handelt. Den Integral nach x
> habe ich berechnet und der Integral nach y müsste
> eigentlich existieren.
Es kann ja durchaus existieren, eine Stammfunktion der Funktion im Integral ist aber nicht bekannt.
> Hat jemand eine Idee wie man die berechnet?
In der Lösung des Integrals tauchen modifizierte Besselfunktionen zweiter Art auf:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(1%2Fy*exp(-y-x%2Fy),y,0,inf)
Diese Lösung "von Hand" zu bestimmen dürfte nicht ganz trivial sein.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Di 12.12.2017 | | Autor: | donquijote |
> Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
> Also man hätte dann [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy}[/mm]
>
Hallo,
kann es sein, dass zu zeigen ist, dass [mm]f(x,y)=\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y})[/mm] eine Dichte auf [mm](0,\infty)^2[/mm] definiert und somit das Doppelintegral [mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dx\,dy}[/mm] zu berechnen ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Di 12.12.2017 | | Autor: | Filza |
Achso ja stimmt danke:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mi 13.12.2017 | | Autor: | donquijote |
> Achso ja stimmt danke:)
Hallo,
es wäre schon hilfreich gewesen, die Aufgabenstellung gleich korrekt wiederzugeben.
Zur Rechnung: Berechne erst das Integral nach x, danach ist das Integral nach y auch lösbar.
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