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Integral Funktional: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 So 01.12.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X:= [mm] C([0,1],\IR^n) [/mm] der gewöhnliche Raum des stetigen Vektorfeldes auf [0,1] mit den Werten in [mm] \IR^n [/mm] ausgestattet mit der Supremum-Norm. Beachte, dass X ein reeller teilbarer Banach-Raum ist. Bedenke das folgende Integral Funktional für y [mm] \in [/mm] X und c [mm] \in \IR^n: [/mm]

[mm] I[y]:=\integral_{0}^{1}{max(0,c^Ty(t)) dt}. [/mm]

(1) Argumentiere dass I:X [mm] \to \IR [/mm] ein konvexes, stetiges Funktional ist.
(2) Leite eine Formel für die Richtungsableitungen von I her, d.h. für jedes y [mm] \in [/mm] X und jedes h [mm] \in [/mm] X, existiert eine Funktion I'[y;*]:X [mm] \to \IR [/mm] sodass gilt:

[mm] I'[y;h]=\limes_{t \to 0}{\bruch{I[y+th]-I[y]}{t}}. [/mm]



zur (1):
Mir ist nur die allgemeine Definition von Konvexität bekannt:

[mm] f:C\to \IR [/mm] konvex, wenn [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] C und [mm] \forall \theta \in [/mm] [0,1] gilt:
[mm] f(\theta x+(1-\theta)y)< \theta f(x)+(1-\theta)f(y). [/mm]

Vermutlich gilt hier nun nach einer Proposition, dass das Integral konvex ist, wenn es der Integrand ist?
Ist hier somit zu zeigen, dass [mm] max(0,c^Tg(\theta t+(1-\theta)t_2))\le \theta max(0,c^Ty(t))+(1-\theta)max(0,c^Ty(t_2))) [/mm]

zur (2):
Der Differenzenquotient des Integrand:

[mm] f(1,0)=\bruch{f(1)-f(0)}{1-0}=max(0,c^Ty(1))-max(0,c^Ty(0)) [/mm]

Der Integrand müsste dann punktweise Lipschitzstetig sein,
d.h.
[mm] |max(0,c^Ty(1))-max(0,c^Ty(0))|\le [/mm] L*|1-0|=L.

Bekannt ist mir nun noch das Lebesgue's dominierte Konvergenztheorem:

[mm] \limes_{n\to \infty}\integral_{S}^{}{|f_n-f|d\mu=0} [/mm]

Wie lässt sich nun allerdings eine explizite Formel für I'[y;h] herleiten?



        
Bezug
Integral Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 So 01.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zur (1):
>  Mir ist nur die allgemeine Definition von Konvexität bekannt:

und hoffentlich auch zu Stetigkeit.

> Vermutlich gilt hier nun nach einer Proposition, dass das Integral konvex ist, wenn es der Integrand ist?

Naja, das folgt schon fast trivial aus der Linearität des Integrals, das dann als Proposition zu verkaufen… na gut.

>  Ist hier somit zu zeigen, dass [mm]max(0,c^Tg(\theta t+(1-\theta)t_2))\le \theta max(0,c^Ty(t))+(1-\theta)max(0,c^Ty(t_2)))[/mm]

Ja, aber auch das folgt fast schon trivial, wenn du beachtest: [mm] $\max\{0,y\} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left(y + |y|\right)$. [/mm] Dann folgt das sofort aus der Dreiecksungleichung.


> zur (2):
>  Der Differenzenquotient des Integrand:
>  
> [mm]f(1,0)=\bruch{f(1)-f(0)}{1-0}=max(0,c^Ty(1))-max(0,c^Ty(0))[/mm]

Was soll denn plötzlich $f(1,0)$ sein?  

Und wieso wertest du den Integranden plötzlich nur noch an den Endpunkten des Integrals aus, das ist doch humbug.

Du sollst eine Formel herleiten für:
$ [mm] I'[y;h]=\limes_{t \to 0}{\bruch{I[y+th]-I[y]}{t}} [/mm] $

Dazu:
1.) Wie sieht denn [mm] ${\bruch{I[y+th]-I[y]}{t}}$ [/mm] aus? Schreibe das mal sauber auf und hin.
Kleine Stolperfalle: Das t in den Ausdruck hat nix mit der Integrationsvariable zu tun, da also aufpassen.
Heraus kommt sowas wie: [mm] $\int_0^1 \ldots [/mm] $

2.) Begründe, warum du Integration und Grenzwertbildung vertauschen kannst.
D.h. warum gilt:
$ I'[y;h]= [mm] \limes_{t \to 0} \int_0^1 \ldots [/mm] = [mm] \int_0^1 \limes_{t \to 0} \ldots$ [/mm]
Da warst du mit deiner dominierten Konvergenz schon nicht ganz verkehrt…

3.) Bestimme nun [mm] $\limes_{t \to 0} \ldots$, [/mm] dafür hilfreich ist dann wohl auch deine vorab bearbeitete Aufgabe hier im Forum, da sollst du den Ausdruck nämlich herleiten…

In diesem Sinne,
Gono

Bezug
                
Bezug
Integral Funktional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Mo 02.12.2019
Autor: TS85

Ok, die Konvexität konnte ich damit beweisen (Auflösen durch Umformung und Anwendung |a+b|<=|a|+|b|), allerdings fehlt mir in diesem Fall bisher die Definition der Stetigkeit von Funktionalen (welche kein Teil der Vorlesung sind).

Gefunden habe ich dazu bisher nur:
Für Funktionale f:M [mm] \to [/mm] C gilt für die Stetigkeit am Punkt [mm] x_0 \in [/mm] M,dass ein [mm] \epsilon [/mm] >0 in der Nachbarschaft U von [mm] x_0 [/mm] existieren muss, sodass [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] für x [mm] \in [/mm] U gilt. Das Weierstrass Theorem wäre dazu additiv für die Begrenzung nach oben und unten.
Oder ist die
Stetigkeit beschränkter konvexer Funktionen in normierten Räumen zu zeigen?

zu (2):
[mm] \limes_{t \to 0}\bruch{I[y+th]-I[y]}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t \to 0}\bruch{\integral_{0}^{1}{max(0,c^T(y+th)(x))dx-\integral_{0}^{1}{max(0,c^Ty(x)) dx}}}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t \to 0}\bruch{\integral_{0}^{1}{max(0,c^T(y(x)+th(x)))dx-\integral_{0}^{1}{max(0,c^Ty(x)) dx}}}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t \to 0}\bruch{\integral_{0}^{1}{(max(0,c^T(y(x)+th(x)))-max(0,c^Ty(x))) dx}}{t} [/mm]

(Nebenbemerkung: Der Differenzenquotient des Integranden wäre dazu ähnlich (ohne Integral):
[mm] \bruch{max(0,c^Ty(z+x_0))-max(0,c^Ty(x_0))}{z} [/mm] mit [mm] z=x_1-x_0) [/mm]

Mein Problem hier:
Soll diese Darstellung weiter "vereinfacht" werden durch z.B. Entfernen der max-Fkt. wie bei (1).

Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung warum hier der Grenzwert mit dem Integral tauschbar ist, ich könnte möglicherweise nur durch Research dazu eine Lösung bekommen (da dies im Allgemeinen nicht zu gelten scheint).

Leider ist die andere Aufgabe noch nicht bearbeitet und die Lösung auch nicht trivial (Mit der Anmerkung, dass das gesamte Aufgabenblatt auch nicht bearbeitet werden muss).

Bezug
                        
Bezug
Integral Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 02.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> allerdings fehlt mir in diesem Fall bisher die Definition der Stetigkeit von Funktionalen (welche kein Teil der Vorlesung  sind).

Na das glaube ich nicht, das ist nämlich Erstsemestervorlesungsstoff, auch wenn dir das nicht klar ist.

Es ist ja bereits gegeben, dass [mm] $(X,||\cdot||_\infty)$ [/mm] ein Banachraum und damit insbesondere ein metrischer Raum ist, wobei für als Metrik die induzierte Metrik [mm] $d_X(a,b) [/mm] = [mm] ||a-b||_\infty$ [/mm] betrachten.

Nun ist das "Funktional" $I: X [mm] \to \IR$ [/mm] einfach eine Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen… und wie ist da die Stetigkeit definiert?

Schlag einfach die Stetigkeit für [mm] $\IR$ [/mm] nach und ersetze die Norm [mm] $|\cdot|$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] durch die Norm [mm] $||\cdot||_\infty$ [/mm] auf $X$.

> Mein Problem hier:
>  Soll diese Darstellung weiter "vereinfacht" werden

das scheint die Aufgabe zu sein

> Um ehrlich zu sein habe ich keine Ahnung warum hier der
> Grenzwert mit dem Integral tauschbar ist, ich könnte
> möglicherweise nur durch Research dazu eine Lösung
> bekommen (da dies im Allgemeinen nicht zu gelten scheint).

Du hast doch bereits einen Satz selbst angebracht, wann man Integral und Grenzwert vertauschen kann: Satz von der dominierten Konvergenz.
Zeige also: (in Übrigen kannst du das [mm] $\frac{1}{t}$ [/mm] auch noch ins Integral ziehen)

[mm] $\frac{\max\{0,c^T(y+th)(x)\} - \max\{0,y(x)\}}{t}$ [/mm] lässt sich nach oben durch eine integrierbare, nicht von t abhängige Funktion abschätzen.

Damit du ein Ziel hast:
1.) Zeige: Die Funktion ist durch $2h(x)$ beschränkt.
2.) Zeige: $2h(x)$ ist integrierbar ist.

> Leider ist die andere Aufgabe noch nicht bearbeitet und die
> Lösung auch nicht trivial (Mit der Anmerkung, dass das
> gesamte Aufgabenblatt auch nicht bearbeitet werden muss).

Ist dann aber schon seltsam, dass die Lösung hier anwendbar ist, oder?

Gruß,
Gono

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