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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^3+1} dx} [/mm] für [mm] -1
(keine Substitution oder partielle Integration) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich weiss nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Polynomdivision geht nicht, da der Grad des Zählers kleiner ist als der des Nenners und für die Abspaltung einer Polstelle müsste x=-1 sein, das geht aber nicht wegen der Intervallgrenzen.
Was muss ich hier machen ?
Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Roadrunner,
vielen vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
Jetzt habe ich länger über deinen tollen Links gebrütet:
Bei der Polynomdivision erhalte ich [mm] x^2-x+1 [/mm].
Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich es versanden habe. In dem sehr anschaulichen Beispiel wird ja dann [mm] \bruch{P}{Q}=\bruch{A1}{x..}+\bruch{A2}{x..} [/mm] über die gefundenen Nullstellen aufgesplittet.
Das bedeutet bei mir: [mm] \bruch{A1}{(x+1)(x^2-x+1)} [/mm]
A1 wird bei mir zu -1, also erhalte ich
[mm] -1 \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-x+1} dx} [/mm]
Kann ich jetzt noch mehr aufsplitten ?
VIELEN DANK, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Roadrunner,
> vielen vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
>
> Jetzt habe ich länger über deinen tollen Links gebrütet:
> Bei der Polynomdivision erhalte ich [mm]x^2-x+1 [/mm].
>
> Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich es versanden habe. In
> dem sehr anschaulichen Beispiel wird ja dann
> [mm]\bruch{P}{Q}=\bruch{A1}{x..}+\bruch{A2}{x..}[/mm] über die
> gefundenen Nullstellen aufgesplittet.
> Das bedeutet bei mir: [mm]\bruch{A1}{(x+1)(x^2-x+1)}[/mm]
> A1 wird bei mir zu -1, also erhalte ich
> [mm]-1 \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-x+1} dx}[/mm]
>
Das ist ziemlicher Murks !
Der richtige Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
[mm] \bruch{x}{x^3+1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x+1}+\bruch{Bx+C}{x^2-x+1}
[/mm]
[mm] x^2-x+1 [/mm] hat keine reelle Nullstelle
FRED
> Kann ich jetzt noch mehr aufsplitten ?
>
> VIELEN DANK, Susanne.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:38 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Susanne,
wenn Du den von Fred mitgeteilten Ansatz mal ausrechnest, bekommst Du durch gliedweisen Vergleich gleicher Potenzen von x drei lineare Gleichungen für A,B,C:
A+B=0
-A+B+C=1
A+C=0
Dieses LGS musst Du dann lösen...
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred, hallo reverend,
VIELEN VIELEN DANK für eure Hilfe !!
> wenn Du den von Fred mitgeteilten Ansatz mal ausrechnest,
> bekommst Du durch gliedweisen Vergleich gleicher Potenzen
> von x drei lineare Gleichungen für A,B,C:
> A+B=0
> -A+B+C=1
> A+C=0
>
Dann erhalte ich für B=C=1/3 und A=-1/3 und
[mm] \bruch{x}{x^3+1}=\bruch{-\bruch{1}{3}}{x+1}+\bruch{\bruch{x}{3}+\bruch{1}{3}}{x^2-x+1}}=\bruch{1}{3}(\bruch{-1}{x+1}+\bruch{x+1}{x^2-x+1}) [/mm]
Und für das Integral würde das bedeuten:
[mm] \bruch{1}{3} (\integral_{a}^{b}{\bruch{-1}{x+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^2-x+1} dx}) = [/mm]
[mm] -\bruch{1}{3} (ln(b+1)-ln(a+1)) + \bruch{1}{3} \integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^2-x+1} dx} [/mm]
Und das übrige Integral müsste ich dann wieder so ermitteln - oder ?
Stimmt das so, oder ist das jetzt wieder Murks ? 
Vielen Dank, Susanne.
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Hallo Susanne,
so ist es richtig.
Das letzte verbliebene Integral ist besser so zu bearbeiten:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^2-x+1} dx}=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}*\bruch{2x-1}{x^2-x+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{x^2-x+1} dx}
[/mm]
Das linke ist durch Substitution des Nenners zu lösen, für das zweite solltest Du Dich mit dem arctan vertraut machen...
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:59 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo reverend,
vielen vielen Dank für Deine tolle und schnelle Hilfe !!
> Das letzte verbliebene Integral ist besser so zu
> bearbeiten:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x+1}{x^2-x+1} dx}=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}*\bruch{2x-1}{x^2-x+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{x^2-x+1} dx}[/mm]
>
> Das linke ist durch Substitution des Nenners zu lösen, für
> das zweite solltest Du Dich mit dem arctan vertraut
> machen...
Auf diese Aufteilung wäre ich nicht gekommen - danke !
LG, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 25.01.2009 | | Autor: | iks |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich habe eine weiterführende Frage zu
$\integral_{a}^{b}{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{x^2-x+1} dx}$
Komme nämlich auf keinen grünen Zweig. Dachte, dass es sich um eine Funktion $\arctan(y)$ mit einem linearen $y=\alpha x+\beta$ handelt und habe dann durch Differentation versucht die Geschichte zu beweisen nur so richtig gelungen ist es mir nicht.
In den Integraltafel fand ich dann die (auch richtige) LÖsung:
$\integral_{a}^{b}{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{x^2-x+1} dx}=\left \frac{3}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right|_{a}^b=\left \sqrt{3}\arctan{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)\right|_{a}^b$
Nur wie kommt man auf diese Lösung??
Dankbar für jede Hilfe
mFg iks
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Hallo iks!
Du musst "etwas" im Nenner umformen:
[mm] $$\bruch{1}{x^2-x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2-x \ \blue{+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{4}}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{3}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2+\left(\wurzel{\bruch{3}{4}}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(\wurzel{\bruch{3}{4}}\right)^2}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}}\right)^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}*\bruch{1}{\left(\bruch{x-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}}\right)^2+1}$$
[/mm]
Nun den Term innerhalb der Klammer substituieren. Diesen Term kann man zuvor noch umformen zu:
[mm] $$\bruch{x-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-\bruch{1}{2}}{\bruch{\wurzel{3}}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(x-\bruch{1}{2}\right)*2}{\wurzel{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-1}{\wurzel{3}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 So 25.01.2009 | | Autor: | iks |
Schönen Dank! Das hilft sehr weiter
Gruß iks
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Partialbruchzerlegung