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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:11 So 09.03.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | Ist [mm]K[/mm] unendlich, so ist die Abbildung
[mm]^\sim: K[t] \rightarrow Abb(K,K), f \mapsto \stackrel{\sim}{f}[/mm]
injektiv. |
(Korrollar: [mm]K[/mm] beliebiger Körper, [mm]f \in K[t][/mm] von Nullpolynom verschiedenes Polynom, [mm]k[/mm] die Anzahl der Nullstellen, dann gilt [mm]k \le deg f[/mm].)
Beweis: Seien [mm]f_1, f_2 \in K[t][/mm] und [mm]g:= f_2 - f_1[/mm]. Ist [mm]\stackrel{\sim}{f_1} = \stackrel{\sim}{f_2}[/mm], so folgt [mm]\stackrel{\sim}{g} = 0[/mm] d.h. [mm] $g(\lambda) [/mm] = 0$ für alle [mm] $\lambda \in [/mm] K$. Also hat $g$ undendlich viele Nullstellen, und aus Korollar folgt $g=0$, somit [mm] $f_1 [/mm] = [mm] f_2$.
[/mm]
Den Beweis verstehe ich nicht. Ich nehme mir zwei beliebige Elemente [mm]f_1, f_2 \in K[t][/mm] und definiere ein [mm]g[/mm] durch [mm] $f_2 -f_1. [/mm] Dann nehme ich an, dass [mm]\stackrel{\sim}{f_1} = \stackrel{\sim}{f_2}[/mm]. Soweit erst mal klar. Was ist dann mein [mm]\stackrel{\sim}{g}[/mm]? Einfach mal [mm]\stackrel{\sim}{f_2} - \stackrel{\sim}{f_1}[/mm]? Wenn ja wieso ist es null? Bei Polynomen ist es mir klar, aber [mm] $\stackrel{\sim}{f_1}$ [/mm] und [mm] $\stackrel{\sim}{f_2}$ [/mm] sind hier Abbildungen. Der Rest ist mir auch nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Abbildung ~ ordnet jedem Polynom f aus K[t] [mm] (f=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t+a_0) [/mm] nicht irgendeine Abbildung $ [mm] \stackrel{\sim}{f} [/mm] $ zu (dann könnte man niemals Injektivität nachweisen), sondern gerade die Polynomfunktion [mm] x\mapsto a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0.
[/mm]
Das sollte an irgendeiner vorigen Stelle des Skripts stehen.
Diese Abbildung ~ ist linear und deshalb wird dem Polynom [mm] f_2-f_1 [/mm] die Polynomfunktion $ [mm] \stackrel{\sim}{f_2} [/mm] - [mm] \stackrel{\sim}{f_1} [/mm] $ zugeordnet.
(Ich empfehle dir Angelas tolle Antworten in der Diskussion "Polynome vs Polynomfunktionen".)
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 09.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Danke Sax, ich glaube das alles verstehe ich. Mein Problem ist dieses [mm]\stackrel{\sim}{g} = 0[/mm].
Also vielleicht noch mal. Ich nehme mir zwei beliebige Polynome [mm] $f_1 [/mm] = [mm] a_0, [/mm] ... , [mm] a_n t^n$ [/mm] und $g [mm] =b_0, [/mm] ... , [mm] b_n t^n$. [/mm] Ich nehme an [mm] $\stackrel{\sim}{f_1} [/mm] = [mm] \stackrel{\sim}{f_2}$. [/mm] Also ich habe zwei folgende Funktionen
[mm] $\stackrel{\sim}{f_1}: [/mm] K [mm] \rightarrow [/mm] K, [mm] \lambda \mapsto a_0, [/mm] ... , [mm] a_n \lambda^n [/mm] = x$
[mm] $\stackrel{\sim}{f_2}: [/mm] K [mm] \rightarrow [/mm] K, [mm] \lambda \mapsto b_0, [/mm] ... , [mm] b_n \lambda^n [/mm] = x$
Was ist [mm] $\stackrel{\sim}{g}$? [/mm] Warum ist es $0$? Ich kann doch nicht [mm] $\stackrel{\sim}{f_2} [/mm] - [mm] \stackrel{\sim}{f_1}$ [/mm] rechnen, da es Abbildungen sind und keine Polynome.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 09.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt auch die 0 Abbildung bzw das Nullpolynom mit [mm] a_i=0 [/mm] für alle i
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mo 10.03.2014 | | Autor: | ne1 |
Ok, dann vielleicht noch mal bisschen anders formuliert. Ich kann mir ein [mm] $g^{\sim} [/mm] = 0$ (ich werde es so schreiben, weil es schneller ist) vorstellen. Meine Frage ist wieso folgt aus [mm] $f_1^{\sim} [/mm] = [mm] f_2^{\sim}$, [/mm] dass es dieses [mm] $g^{\sim}$ [/mm] gibt?
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Hallo,
der Knackpunkt scheint mir die Abbildung
[mm]^\sim: K[t] \rightarrow Abb(K,K), f \mapsto \stackrel{\sim}{f}[/mm]
zu sein.
Was macht diese? Einem jeden Polynom [mm] f=\summe{i=0}^na_it^{i} [/mm] ordnet sie die Funktion [mm] \stackrel{\sim}{f} [/mm] zu mit [mm] \stackrel{\sim}{f}(x):=\summe{i=0}^na_xt^{i} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K.
Jedem Polynom wird also die zugehörige Polynomfunktion zugeordnet.
Offenbar findet man auch zu jeder Polynomfunktion ein Polynom, welches darauf abgebildet wird.
Festhalten sollten wir noch, daß bekannt ist, wie Polynome addiert und multipliziert werden,
ebenso wissen wir, wie Funktionen addiert und multipliziert werden.
(Ggf. nachschlagen)
Im Beweis haben wir zwei Polynome [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2, [/mm] für die die die beiden Polynomfunktionen gleich sind, für die also
[mm] \stackrel{\sim}{f_1}=\stackrel{\sim}{f_2}
[/mm]
gilt.
Was bedeutet diese Gleichheit? Für alle [mm] x\in [/mm] K ist
[mm] \stackrel{\sim}{f_1}(x)=\stackrel{\sim}{f_2}(x)
[/mm]
<==>
[mm] \stackrel{\sim}{f_1}(x)-\stackrel{\sim}{f_2}(x)=0_K
[/mm]
<==>
[mm] (\stackrel{\sim}{f_1}-\stackrel{\sim}{f_2})(x)=0_K
[/mm]
<==>
[mm] \stackrel{\sim}{f_1}-\stackrel{\sim}{f_2}=0_{Abb(K,K)}.
[/mm]
Es wurde definiert [mm] g:=f_1-f_2,
[/mm]
nach Def. von [mm] \sim [/mm] ist dann [mm] \stackrel{\sim}{g}=\stackrel{\sim}{f_1-f_2}
[/mm]
mit [mm] \stackrel{\sim}{f_1-f_2}(x)=\stackrel{\sim}{f_1}(x)-\stackrel{\sim}{f_2}(x) [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] K,
und damit ist [mm] \stackrel{\sim}{f_1-f_2}=\stackrel{\sim}{f_1}-\stackrel{\sim}{f_2},
[/mm]
also [mm] \stackrel{\sim}{g}=\stackrel{\sim}{f_1}-\stackrel{\sim}{f_2}=0_{Abb(K,K)}.
[/mm]
Damit ist [mm] \stackrel{\sim}{g} [/mm] die Nullfunktion.
Die einzige Frage, die sich nun stellt, ist, ob g zwingend das Nullpolynom ist.
Klar ist, daß das Nullpolynom auf die Nullfunktion, also auf [mm] \stackrel{\sim}{f_1}-\stackrel{\sim}{f_2}, [/mm] abgebildet wird.
Kann g mit [mm] \stackrel{\sim}{g}=0_{Abb(K,K)} [/mm] etwas anderes sein als das Nullpolynom?
Nein, denn dann würde es nicht auf die Nullfunktion abgebildet werden aufgrund der Def. von [mm] \sim.
[/mm]
Also ist [mm] g=0_k, [/mm] und wegen [mm] g=f_1-f_2 [/mm] ist [mm] f_1=f_2.
[/mm]
LG Angela
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