Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mi 30.12.2009 | | Autor: | suxul |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n Element _IN gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}= \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j} [/mm] |
Die Aufgabe besitzt schon eine Lösung, jedoch ist mir ein Schritt nicht klar und ich würde mich über Hilfe freuen :)
n=1 :
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] stimmt
n->n+1:
z.z.:
[mm] \summe_{k=1}^{2n+2} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}=\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{n+j}
[/mm]
betrachten der linken seite:
[mm] \summe_{k=1}^{2n+2} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}
[/mm]
(und jetzt kommt der schritt der mir nicht ganz klar ist)
= [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{2n}}{2n+1} +(-1)^{2n+1}
[/mm]
es wurde das summenzeichen so richtig schön zerpflückt... blos wie? mir ist klar dass es klug ist das summenzeichen so wie es gelassen wurde stehen zu lassen, da es im nächsten schritt durch die I.V. ersetzt werden kann, aber wie komme ich auf die 2 nächsten summanden [mm] \bruch{(-1)^{2n}}{2n+1} +(-1)^{2n+1}???
[/mm]
danke für eure mühe im voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 30.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass für alle n Element _IN gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}= \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}[/mm]
>
> Die Aufgabe besitzt schon eine Lösung, jedoch ist mir ein
> Schritt nicht klar und ich würde mich über Hilfe freuen
> :)
>
> n=1 :
> [mm]\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm] stimmt
>
> n->n+1:
> z.z.:
> [mm]\summe_{k=1}^{2n+2} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}=\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{n+j}[/mm]
>
> betrachten der linken seite:
> [mm]\summe_{k=1}^{2n+2} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}[/mm]
> (und jetzt
> kommt der schritt der mir nicht ganz klar ist)
> = [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-1)^{2n}}{2n+1} +(-1)^{2n+1}[/mm]
> es wurde das
> summenzeichen so richtig schön zerpflückt... blos wie?
> mir ist klar dass es klug ist das summenzeichen so wie es
> gelassen wurde stehen zu lassen, da es im nächsten schritt
> durch die I.V. ersetzt werden kann, aber wie komme ich auf
> die 2 nächsten summanden [mm]\bruch{(-1)^{2n}}{2n+1} +(-1)^{2n+1}???[/mm]
Hallo,
da fehlt etwas. Der allerletzte Summand heißt nicht nur [mm] (-1)^{2n+1}, [/mm] sondern [mm] \bruch{(-1)^{2n+1}}{2n+2}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> danke für eure mühe im voraus :)
>
>
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Hallo, deine Summe läuft ja nur bis 2n, es fehlt also der (2n+1)-te und der (2n+2)-te Summand, setze mal für k jetzt 2n+1 bzw. 2n+2 ein, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 31.12.2009 | | Autor: | suxul |
es war echt super nett, dass ihr so ausführlich und schnell geantwortet habt :) danke...
aber bei dieser aufgabe haben sich beim umformen der rechten seite auch unklarheiten ergeben die ich noch nicht klären konnte:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{n+1+j}
[/mm]
wir behandeln ja nun n+1 um die allgemeingültigkeit zu zeigen... in meinem bruch ist ein n und ein j. die summe läuft von j=1 bis n+1. heißt das jetzt, dass ich mein ursprüngliches n im nenner gleich durch n+1 ersetze und nur noch mein j von 1 bis n+1 laufen lasse?
wenn das stimmt wäre mir der nächste schritt klar:
[mm] =\summe_{j=2}^{n+2} \bruch{1}{n+j}
[/mm]
in den nächsten 2 schritten vermute ich einen schreibfehler... und ICH seh vor lauter wald keine bäume ;) :
[mm] =\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j} [/mm] + [mm] \summe_{j=n+1}^{n+2} \bruch{1}{n+j} -\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}
[/mm]
= [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}+ \bruch{1}{2n+1} +\bruch{1}{2n+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
diese 2 schritte sind mir ein rätsel...
danach:
-> linke seite= rechte seite und alles kürzt sich wunderschön weg
-> [mm] \bruch{-1}{2n+2}= \bruch{-1}{2n+2}
[/mm]
-> Induktionsschritt durchgeführt
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Hallo,
> es war echt super nett, dass ihr so ausführlich und
> schnell geantwortet habt :) danke...
> aber bei dieser aufgabe haben sich beim umformen der
> rechten seite auch unklarheiten ergeben die ich noch nicht
> klären konnte:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{n+1+j}[/mm]
> wir behandeln ja nun
> n+1 um die allgemeingültigkeit zu zeigen... in meinem
> bruch ist ein n und ein j. die summe läuft von j=1 bis
> n+1. heißt das jetzt, dass ich mein ursprüngliches n im
> nenner gleich durch n+1 ersetze und nur noch mein j von 1
> bis n+1 laufen lasse?
> wenn das stimmt wäre mir der nächste schritt klar:
>
> [mm]=\summe_{j=2}^{n+2} \bruch{1}{n+j}[/mm]
Ja, hier wurde eine Indexverschiebung durchgeführt. Damit in der Summe wieder dasselbe steht wie das, was wir gern hätten (nämlich [mm] \bruch{1}{n+j}, [/mm] worauf wir dann die Induktionsvoraussetzung anwenden können), sagen wir einfach: Gut, j läuft nicht mehr von 1 bis (n+1), sondern von 2 bis (n+2), dafür dürfen wir das "+1" im Nenner von [mm] \bruch{1}{n+j+1} [/mm] natürlich wegnehmen.
> in den nächsten 2
> schritten vermute ich einen schreibfehler... und ICH seh
> vor lauter wald keine bäume ;) :
>
> [mm]=\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}[/mm] + [mm]\summe_{j=n+1}^{n+2} \bruch{1}{n+j} -\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}+ \bruch{1}{2n+1} +\bruch{1}{2n+2}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> diese 2 schritte sind mir ein rätsel...
Der erste Schritt ist wirklich leicht falsch, dort muss stehen:
[mm]=\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}[/mm] + [mm]\summe_{j=n+1}^{n+2} \bruch{1}{n+j} -\summe_{j=1}^{\red{1}} \bruch{1}{n+j}[/mm]
Was man prinzipiell versucht (und es gelingt auch!), ist, aus der Summe [mm] $\summe_{j=2}^{n+2} \bruch{1}{n+j}$ [/mm] wieder eine Summe der Form [mm] $\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}$ [/mm] zu machen, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können.
Dafür muss man allerdings ein paar Summanden rausschmeißen aus der Summe, und auch einen reinschmuggeln.
Du siehst: Am Ende soll die Summe wieder bei j = 1 losgehen, das heißt wir brauchen einen Summanden der Form [mm] \frac{1}{n+1}, [/mm] der eigentlich in die Summe reinmüsste, aber gar nicht da ist. Deswegen schreiben wir:
[mm] $\left(\summe_{j=2}^{n+2} \bruch{1}{n+j}\right) [/mm] + [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{n+1}$
[/mm]
$= [mm] \left(\summe_{j=1}^{n+2} \bruch{1}{n+j}\right)- \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Und nun müssen noch die beiden Summanden für die Fälle j = n+1 und j = n+2 aus der Summe rausgeholt werden:
$= [mm] \left(\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{n+j}\right) [/mm] + [mm] \frac{1}{n+(n+1)} [/mm] + [mm] \frac{1}{n+(n+2)}- \frac{1}{n+1}$
[/mm]
Dann hast du genau das dastehen, was oben mit Summen ausgedrückt wurde.
> danach:
> -> linke seite= rechte seite und alles kürzt sich
> wunderschön weg
> -> [mm]\bruch{-1}{2n+2}= \bruch{-1}{2n+2}[/mm]
> ->
> Induktionsschritt durchgeführt
Ja. Das ist aber nicht wirklich die "schönste" Variante, so etwas zu zeigen, weil du bist davon ausgegangen, dass die Aussage stimmt, indem du linke Seite = rechte Seite gesetzt hast, und bist dann durch Umformen auf eine wahre Aussage gekommen.
So könnte ich auch
(-1) = 1
beweisen, indem ich auf beiden Seiten quadriere (du verstehst das Problem?). Natürlich ist das Vorgehen oben trotzdem legitim, weil nur Äquivalenzumformungen durchgeführt wurden (Addieren / Subtrahieren). Trotzdem ist es schöner, den Induktionsbeweis dann so zu führen:
Linke Seite der Aussage mit (n+1) = ... Umformungen ... = ... Induktionsvoraussetzung ... = ... Umformungen ... = Rechte Seite der Aussage mit (n+1).
Du kannst ja mal versuchen, es so aufzuschreiben 
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Do 31.12.2009 | | Autor: | suxul |
was für ne super antwort! danke dafür!!!!!!!!!
morgen vesuchs ich gleich noch auf deine vorgeschlagene art!
guten rutsch!!!
:)
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