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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Implizite Funktion
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Implizite Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Fr 23.01.2009
Autor: wunderbar

Aufgabe
Zeigen Sie, dass durch [mm] \sin x + \sin y + e^{xy} = 1 [/mm] in einer Umgebung von $(0,0)$ eine Funktion $y=y(x)$ erklärt ist, so dass dort [mm] $\sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] y + [mm] e^{xy} [/mm] = 1$ genau dann gilt, wenn $y=y(x)$ ist.
Berechnen Sie $y''(x)$

Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen. Leider bin ich mir nicht sicher, wie man hier vorgeht. Für den ersten Teil der Aufgabe würde ich den Satz über implizite Funktionen verwenden. Dafür muss die Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Komponente berechnet werden. Bedeutet das hier die Jacobi-Matrix bezüglich y? Wäre dann
[mm] $\left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \cos y + x \cdot e^{xy} \end{pmatrix}$ [/mm]
die zugehörige Matrix?
Damit wäre schon alles gezeigt, weil die Matrix für $(0,0)$ zu $1$ wird und damit invertierbar ist, so dass die Funktion auch in einer Umgebung von $(0,0)$ erklärt ist. Ist das korrekt?

2. Teil
Berechnung der 1. Ableitung:
[mm] $\frac{d}{dx} [/mm] F = [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] y [mm] \, [/mm] y' + [mm] e^{xy} \, [/mm] (y+ x [mm] \, [/mm] y') = 0$
bei der zweiten Ableitung erhählt man
$- [mm] \sin [/mm] x - [mm] \sin [/mm] y [mm] \, [/mm] y'^2 + [mm] \cos [/mm] y [mm] \, [/mm] y'' + [mm] e^{xy} \, [/mm] ( y + [mm] xy')^2 [/mm] + [mm] e^{xy} \, [/mm] (y'' + y' + x [mm] \, [/mm] y'') = 0$
dies lässt sich umformen zu
$ y '' = [mm] \frac{\sin x + \sin y \, y'^2 - e^{xy} \, y'}{\cox y + e^{xy} \, (1+x)}$ [/mm]
einsetzen von $x=0$ ergibt
$ y'' = [mm] \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}$ [/mm]
Weiter kann ich nicht vereinfachen weil ich ja die Abhängigkeit von y von x nicht kenne

Ich danke für eure bemühungen
Ich habe diese frage sonst nirgendwo gestellt

        
Bezug
Implizite Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Fr 23.01.2009
Autor: MathePower

Hallo wunderbar,

> Zeigen Sie, dass durch [mm]\sin x + \sin y + e^{xy} = 1[/mm] in
> einer Umgebung von [mm](0,0)[/mm] eine Funktion [mm]y=y(x)[/mm] erklärt ist,
> so dass dort [mm]\sin x + \sin y + e^{xy} = 1[/mm] genau dann gilt,
> wenn [mm]y=y(x)[/mm] ist.
> Berechnen Sie [mm]y''(x)[/mm]
>  Hallo, ich habe die oben angegebene Aufgabe zu lösen.
> Leider bin ich mir nicht sicher, wie man hier vorgeht. Für
> den ersten Teil der Aufgabe würde ich den Satz über
> implizite Funktionen verwenden. Dafür muss die
> Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Komponente berechnet werden.
> Bedeutet das hier die Jacobi-Matrix bezüglich y? Wäre dann
>  [mm]\left( \frac{\partial F}{\partial y} \right) = \begin{pmatrix} \cos y + x \cdot e^{xy} \end{pmatrix}[/mm]
>  
> die zugehörige Matrix?
>  Damit wäre schon alles gezeigt, weil die Matrix für [mm](0,0)[/mm]
> zu [mm]1[/mm] wird und damit invertierbar ist, so dass die Funktion
> auch in einer Umgebung von [mm](0,0)[/mm] erklärt ist. Ist das
> korrekt?


Ja.


>  
> 2. Teil
>  Berechnung der 1. Ableitung:
>  [mm]\frac{d}{dx} F = \cos x + \cos y \, y' + e^{xy} \, (y+ x \, y') = 0[/mm]


[ok]

>  
> bei der zweiten Ableitung erhählt man
> [mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (y'' + y' + x \, y'') = 0[/mm]
>  


Es muß doch so heißen:

[mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (\red{y'} + y' + x \, y'') = 0[/mm]


> dies lässt sich umformen zu
>  [mm]y '' = \frac{\sin x + \sin y \, y'^2 - e^{xy} \, y'}{\cox y + e^{xy} \, (1+x)}[/mm]
>  
> einsetzen von [mm]x=0[/mm] ergibt
>  [mm]y'' = \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}[/mm]


Das ist dann der Wert der 2. Ableitung an der Stelle x=0.


>  Weiter kann
> ich nicht vereinfachen weil ich ja die Abhängigkeit von y
> von x nicht kenne
>  
> Ich danke für eure bemühungen
>  Ich habe diese frage sonst nirgendwo gestellt


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Implizite Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Fr 23.01.2009
Autor: wunderbar

Hallo MathePower,

> Es muß doch so heißen:
>  
> [mm]- \sin x - \sin y \, y'^2 + \cos y \, y'' + e^{xy} \, ( y + xy')^2 + e^{xy} \, (\red{y'} + y' + x \, y'') = 0[/mm]
>  

stimmt genau! so ist die korrekte Ableitung.

> > einsetzen von [mm]x=0[/mm] ergibt
>  >  [mm]y'' = \frac{\sin y \, (y'^2) - y'}{\cos y +1}[/mm]
>  
>
> Das ist dann der Wert der 2. Ableitung an der Stelle x=0.

Japp, sollte es auch sein, habe in der Aufgabenstellung $y''(x)$ anstatt $y''(0)$ geschrieben.

Ich danke für deine Hilfe!

Beste Grüße
Wunderbar

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