Implikationen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 16.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
| Aufgabe | Seien a,b,k,t [mm] \ge [/mm] 1 natürliche Zahlen mit k|a und t|b. Welche der folgenden Implikationen ist gültig? Begründen Sie Ihre Antwort!
(i) ggT(a,b)=1 => ggT(a*k,b*t)=1.
(ii) ggT(a*k,b*t)=1 => ggT(a,b)=1.
(iii) ggT(k,t) = 1 und [mm] ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{k})=1 [/mm] => ggT(a,b)=1.
(iv) ggT(a,b)=1 => ggT(k,t) = [mm] ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1 [/mm] |
Hey, hier meine Ideen:
Zu (i):
ggT(a,b)=1 [mm] \wedge [/mm] k|a und t|b => ggT(k,t)=1.
ggT(a,b)=1 [mm] \wedge [/mm] ggT(k,t)=1 => ggT(a*k,b*t)=1.
Zu (ii):
Beweis durch Gegenbeweis.
[mm] ggT(a,b)\not=1 [/mm] => Es Exestiert ein x welches a [mm] \wedge [/mm] b teilt.
=> [mm] ggT(a*k,b*t)\not=1 [/mm] da x a*k [mm] \wedge [/mm] b*t teilt.
=> das die Implikation gilt.
Zu (iii):
Es Handelt sich bestimmt um einen Schreibfehler. Es müsste doch [mm] ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1 [/mm] heißen. Sonst ergibt das doch keinen Sinn, also die Implikation wäre Ungültig. Da a [mm] \wedge [/mm] b den selben teiler k haben.
Zu (iv):
Da ggT(a,b) =1 gilt das sie keine gleichen Teiler haben. Da k und t teiler von a und b sind gilt ggT(k,t)=1
=> ggT [mm] (\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1
[/mm]
grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Sa 16.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien a,b,k,t [mm]\ge[/mm] 1 natürliche Zahlen mit k|a und t|b.
> Welche der folgenden Implikationen ist gültig? Begründen
> Sie Ihre Antwort!
> (i) ggT(a,b)=1 => ggT(a*k,b*t)=1.
> (ii) ggT(a*k,b*t)=1 => ggT(a,b)=1.
> (iii) ggT(k,t) = 1 und [mm]ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{k})=1[/mm]
> => ggT(a,b)=1.
> (iv) ggT(a,b)=1 => ggT(k,t) =
> [mm]ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1[/mm]
>
> Hey, hier meine Ideen:
> Zu (i):
> ggT(a,b)=1 [mm]\wedge[/mm] k|a und t|b => ggT(k,t)=1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ggT(a,b)=1 [mm]\wedge[/mm] ggT(k,t)=1 => ggT(a*k,b*t)=1.
Das stimmt i.A. nicht: etwa ist $ggT(2, 3) = 1$, $ggT(3, 2) = 1$, aber $ggT(2*3, 3*2) = 6 [mm] \neq [/mm] 1$.
Hier ist zwar schon $ggT(a * k, b * t) = 1$, aber du musst das anders zeigen.
> Zu (ii):
> Beweis durch Gegenbeweis.
> [mm]ggT(a,b)\not=1[/mm] => Es Exestiert ein x welches a [mm]\wedge[/mm] b
> teilt.
Vermeide bitte Formulierungen wie "welches a [mm]\wedge[/mm] b teilt". Das ist logischer Quark und wird dir bei deinem Uebungsleiter nicht viel Sympathie einbringen.
> => [mm]ggT(a*k,b*t)\not=1[/mm] da x a*k [mm]\wedge[/mm] b*t teilt.
> => das die Implikation gilt.
Nein? Warum sollte das daraus folgen?
> Zu (iii):
> Es Handelt sich bestimmt um einen Schreibfehler. Es
> müsste doch [mm]ggT(\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1[/mm] heißen.
Ja, das ist vermutlich so.
> Sonst ergibt das doch keinen Sinn, also die Implikation
> wäre Ungültig. Da a [mm]\wedge[/mm] b den selben teiler k haben.
Es sei denn $k = 1$ 
> Zu (iv):
> Da ggT(a,b) =1 gilt das sie keine gleichen Teiler haben.
> Da k und t teiler von a und b sind gilt ggT(k,t)=1
Ja, wobei du hier etwas mehr schreiben solltest.
> => ggT [mm](\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1[/mm]
Ja, aber warum?
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:31 Sa 16.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
Okay
zu (i) hab ich eine Sache nicht berücksichtigt:
ggT(a,b)=1 [mm]\wedge[/mm] k|a und t|b => ggT(k,t)=1.
Da k ein Teiler von a ist, a und b Teilerfremd sind gilt ggT(k,b)=1.
Da t ein Teiler von b ist, a und b Teilerfremd sind gilt ggT(t,a)=1.
=> ggT(a*k,b*t)=1
> > Zu (ii):
> > Beweis durch Gegenbeweis.
> > [mm]ggT(a,b)\not=1[/mm] => Es Exestiert ein x welches a [mm]\wedge[/mm]
> b
> > teilt.
>
> Vermeide bitte Formulierungen wie "welches a [mm]\wedge[/mm] b
> teilt". Das ist logischer Quark und wird dir bei deinem
> Uebungsleiter nicht viel Sympathie einbringen.
Ich werds mir merken ;).
>
> > => [mm]ggT(a*k,b*t)\not=1[/mm] da x a*k [mm]\wedge[/mm] b*t teilt.
>
>
>
> > => das die Implikation gilt.
>
> Nein? Warum sollte das daraus folgen?
Stimmt, das folgt nicht. Ne andere Idee hab ich zu diesen Teil irgendwie nicht. Ist das mit dem Gegenbeweis den i.O. oder muss ich nen anderen weg finden?
Zu (iii):
Nur für k=1 gültig. (Beim letzten Übungsblatt war auch nen Schreibfehler und da mussten wir damit rechnen.)
> > Zu (iv):
> > Da ggT(a,b) =1 gilt das sie keine gleichen Teiler
> haben.
> > Da k und t teiler von a und b sind gilt ggT(k,t)=1
>
>Ja, wobei du hier etwas mehr schreiben solltest.
Hmm, keine Ahnung was noch dazu gehört.
>
> > => ggT [mm](\bruch{a}{k},\bruch{b}{t})=1[/mm]
>
> Ja, aber warum?
Weil a und b Teilerfremd sind und k|a und t|b und somit kommen keine neuen Teiler dazu.
> LG Felix
>
LG zurück und Danke
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:47 So 17.01.2010 | | Autor: | da_kiwi |
> > > Zu (ii):
> > > Beweis durch Gegenbeweis.
> > > [mm]ggT(a,b)\not=1[/mm] => Es Exestiert ein x welches a
> [mm]\wedge[/mm]
> > b
> > > teilt.
> >
> > Vermeide bitte Formulierungen wie "welches a [mm]\wedge[/mm] b
> > teilt". Das ist logischer Quark und wird dir bei deinem
> > Uebungsleiter nicht viel Sympathie einbringen.
>
> Ich werds mir merken ;).
>
> >
> > > => [mm]ggT(a*k,b*t)\not=1[/mm] da x a*k [mm]\wedge[/mm] b*t teilt.
> >
> >
> >
> > > => das die Implikation gilt.
> >
> > Nein? Warum sollte das daraus folgen?
>
> Stimmt, das folgt nicht. Ne andere Idee hab ich zu diesen
> Teil irgendwie nicht. Ist das mit dem Gegenbeweis den i.O.
> oder muss ich nen anderen weg finden?
Okay, mir ist doch etwas dazu eingefallen ;).
Ich wusste nur nicht wirklich wie ich das aufschreiben sollte. Ich hab hier mal 2 versuche gemacht:
1)
ggT(a*k,b*t)=1
=> ggT(k,t)=1 [mm] \wedge [/mm] ggT(k,b)=1 [mm] \wedge [/mm] ggT(a,t)=1 [mm] \wedge [/mm] ggT(a,b)=1.
Da k|a und t|b sind 3 von 4 folgerungen Trivial.
Es reicht die Folgerung: ggT(a,b)=1.
2)
ggT(a*k,b*t)=1
Da jeder Faktor eines Produkts Teilerfremd zu jedem Faktor des anderes Produkts ist UND k ein Teiler von a ist und t ein Teiler von b ist folgt ggT(a,b)=1.
Welches davon ist besser? Oder sind beide falsch/nicht so gut?
lg da_kiwi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 18.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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