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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 So 06.12.2009 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | H3) Hypergeometrische Reihen:
Für $a /in [mm] \IC, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] definiert man das Pochhammer-Symbol
$$
[mm] (a)_n [/mm] = a(a+1)(a+2) [mm] \ldots [/mm] (a+n-1)
$$
mit [mm] (a)_0 [/mm] = 1
Für Parameter $a,b,c [mm] \in \IC$ [/mm] und $c [mm] \not\in [/mm] {0, -1, -2, [mm] \ldots}$ [/mm] definiert man die hypergeometrische Reihe
$$F(a,b,c;z) = [mm] \summe_{n=0}_{\infty} \bruch{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n$$
[/mm]
c) Überprüfen Sie, ob die Binomialreihen [mm] $B_s(z)$ [/mm] als Spezialfälle der hypergeometrischen Reihen der Form [mm] $F(a,b,c;\pm [/mm] z)$ darstellbar sind. |
Hallo zusammen,
wir haben die verallgemeinerte Binomialreihe wie folgt definiert:
$$
[mm] B_s(z) [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{s \\ n}z^n [/mm] für s, z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| [mm] \le [/mm] 1
$$
Ich habe das nun ein wenig umgeschrieben:
$$
[mm] (1+z)^s [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{s(s-1)(s-2)\ldots(s-n+1)}{n!}z^n [/mm] = 1 + sz + [mm] \bruch{s(s-1)}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{s(s-1)(s-2)}{3!}z^3 [/mm] + [mm] \ldots
[/mm]
$$
Wähle ich nun in der Definition der hypergeom. Reihe $b = c$ beliebig, so gilt:
$$
F(s, b, b; z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(s)_n(b)_n}{(b)_nn!}z^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(s)_n}{n!}z^n
[/mm]
= 1 + sz + [mm] \bruch{s(s+1)}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{s(s+1)(s+2)}{3!}z^3 [/mm] + [mm] \ldots
[/mm]
$$
Das sieht ja schon ziemlich gut aus, oder? Der einzige Unterschied ist, dass hier nun im Zähler überall addiert und nicht subtrahiert wird.
Hier komme ich jetzt nicht weiter. Wie kann ich das hinbiegen? Hat da jemand einen Denkanstoß parat? 
Viele Grüße
Jakob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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