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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Matrix U = I − 2u [mm] u^T [/mm] , wobei u ein Einheitsvektor im R n ist, folgende Eigenschaften hat:
a) [mm] U^T [/mm] = U und [mm] U^2 [/mm] = I |
Hallo,
es gibt noch mehr Eigenschaften zu zeigen, aber meine Frage betrifft nur [mm] U^2 [/mm] = I.
Wenn ich das richtig sehe, dann sieht die Matrix U wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 1-2{u_1}^2 & -2u_1u_2 & -2u_1u_3 & \cdots & -2u_1u_n \\ -2u_1u_2 & 1-2{u_2}^2 & -2u_2u_3 & \cdots & -2u_2u_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -2u_1u_n & -2u_2u_n & \cdots & -2u_{n-1}u_n & 1-2{u_n}^2}
[/mm]
Jetzt versuche ich, Zeile 1, Spalte eins von [mm] U^2 [/mm] zu berechnen:
(1 - [mm] 2{u_1}^2)^2 [/mm] + [mm] 2{u_1}^2{u_2}^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 2{u_1}^2{u_n}^2 [/mm] =
1 + [mm] {u_1}^2(2{u_2}^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 2{u_n}^2 [/mm] - 4 + [mm] 4{u_1}^2) [/mm] =
1 + [mm] 2{u_1}^4 [/mm] - [mm] 2{u_1}^2
[/mm]
Das erwartete Ergebnis für das Element ist ja ganz klar 1. Aber wieso sollte [mm] 2{u_1}^4 [/mm] - [mm] 2{u_1}^2 [/mm] = 0 gelten?
Oder liegt der Fehler woanders?
Gruß und Danke,
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mi 06.06.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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