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Forum "Lineare Abbildungen" - Hilfestellung bei einem Beweis
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Hilfestellung bei einem Beweis: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:19 Do 04.07.2019
Autor: Olli1968

Aufgabe
Seien [mm]\alpha , \beta \in Hom_{K}(K^{5},K^{3})[/mm], [mm]B_{1}[/mm] eine Basis von[mm]K^{5}[/mm], [mm]B_{2}[/mm] eine Basis von[mm]K^{3}[/mm]. Gelte weiter [mm] rg(_{B_{2}}(\alpha(v))_{B_{1}})=rg(_{B_{2}}(\beta(v))_{B_{1}})=2[/mm].
Zeigen Sie, dass es ein [mm]v\in K^{5}\backslash \{0_{K^{5}}\}[/mm] gibt mit [mm]\alpha(v)=\beta(v)=0_{K^{3}}[/mm].

Hallo Mathefreunde,
Erklärungen: [mm]K[/mm] ist ein Körper, [mm]rg(_{B_{2}}(\alpha(v))_{B_{1}})[/mm] ist der Rang der Darstellungsmatrix von [mm]\alpha[/mm] bezgl. [mm]B_{1}[/mm] und [mm]B_{2}[/mm].
Somit gilt für die Darstellungsmatrizen [mm]_{B_{2}}(\alpha(v))_{B_{1}},_{B_{2}}(\beta(v))_{B_{1}} \in Mat_{K}(3,5)[/mm].

Ich habe leider keine Idee, wie ich überhaupt Anfangen soll.

Kann mir jemand mit einer ersten Idee helfen? Danke :-)


        
Bezug
Hilfestellung bei einem Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Do 04.07.2019
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aus $ rg(_{B_{2}}(\alpha(v))_{B_{1}})=rg(_{B_{2}(\beta(v))_{B_{1}})=2 $ folgt zunächst, dass

$ \dim \alpha(K^5)= \dim \beta(K^5)=2$ ist.

Mit dem Dimensionssatz folgt

$5= \dim (K^5)= \dim  \alpha(K^5) + \dim (ker( \alpha))=2+ \dim (ker( \alpha))$,

also $ \dim (ker( \alpha))=3.$

Genauso: $ \dim (ker( \beta))=3.$

Nun nehmen wir an, es gäbe kein  $ v\in K^{5}\backslash \{0_{K^{5}}\} $  mit $ \alpha(v)=\beta(v)=0_{K^{3}} $. Das würde bedeuten:

  $ker( \alpha) \cap ker( \beta)= \{0_{K^{5}}\}$.

Bestimme nun Du die Dimension von  $ker( \alpha) \oplus ker( \beta)$

Siehst Du einen Widerspruch ?

Bezug
                
Bezug
Hilfestellung bei einem Beweis: und weiter ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Do 04.07.2019
Autor: Olli1968

Danke Fred, dass Du so schnell geantwortet hast.

Jetzt wo du es geschrieben hast fällt mir wieder ein, dass wir in der Vorlesung einen Satz hatten: [mm] rg(_{B_{2}}(\alpha)_{B_{1}}) = dim_{K} Im(\alpha) [/mm].

Es gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))-dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta)) [/mm]
mit [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))=0[/mm], da [mm]Ker(\alpha) \cap Ker(\beta)=\{0_{K^{5}}\}[/mm]

Also gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))[/mm]

Bin ich auf der richtigen Spur??

Gruß Olli

Bezug
                        
Bezug
Hilfestellung bei einem Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 Do 04.07.2019
Autor: fred97


> Danke Fred, dass Du so schnell geantwortet hast.
>
> Jetzt wo du es geschrieben hast fällt mir wieder ein, dass
> wir in der Vorlesung einen Satz hatten:
> [mm]rg(_{B_{2}}(\alpha)_{B_{1}}) = dim_{K} Im(\alpha) [/mm].
>  
> Es gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))-dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))[/mm]
>  
> mit [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))=0[/mm], da [mm]Ker(\alpha) \cap Ker(\beta)=\{0_{K^{5}}\}[/mm]
>  
> Also gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))[/mm]
>  
> Bin ich auf der richtigen Spur??

Ja, schon, aber Du scheinst die Spur nicht zu sehen !

Wie groß ist denn nun

    [mm] dim_{K}(Ker(\alpha) [/mm] + [mm] Ker(\beta)) [/mm] ?


Wenn Du das hast, so hast Du sofort einen Widerspruch, denn [mm] Ker(\alpha) [/mm] + [mm] Ker(\beta) [/mm] ist ein Unterraum eines  5 -dimensionalen Vektorraumes.

>
> Gruß Olli


Bezug
                                
Bezug
Hilfestellung bei einem Beweis: dim (Ker(a)+Ker(b)) = ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 Do 04.07.2019
Autor: Olli1968

Hallo Fred,

> > Danke Fred, dass Du so schnell geantwortet hast.
> >
> > Jetzt wo du es geschrieben hast fällt mir wieder ein, dass
> > wir in der Vorlesung einen Satz hatten:
> > [mm]rg(_{B_{2}}(\alpha)_{B_{1}}) = dim_{K} Im(\alpha) [/mm].
>  >  
> > Es gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))-dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))[/mm]
>  
> >  

> > mit [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))=0[/mm], da [mm]Ker(\alpha) \cap Ker(\beta)=\{0_{K^{5}}\}[/mm]
>  
> >  

> > Also gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))[/mm]
>  
> >  

> > Bin ich auf der richtigen Spur??
>
> Ja, schon, aber Du scheinst die Spur nicht zu sehen !
>
> Wie groß ist denn nun
>
> [mm]dim_{K}(Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta))[/mm] ?
>  
>
> Wenn Du das hast, so hast Du sofort einen Widerspruch, denn
> [mm]Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta)[/mm] ist ein Unterraum eines  5
> -dimensionalen Vektorraumes.
>  >

> > Gruß Olli
>  

Du hattest weiter oben ja gezeigt, das
[mm]dim_{K} Ker(\alpha)=3[/mm] sowie [mm]dim_{K} Ker(\beta)=3[/mm] ist. Somit ist [mm]dim_{K}(Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta))=6[/mm] ein Widerspruch zum 5-dimensionalen Vektorraum.


Danke für deine super schnelle Hilfe. :-)


Bezug
                                        
Bezug
Hilfestellung bei einem Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Do 04.07.2019
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> > > Danke Fred, dass Du so schnell geantwortet hast.
> > >
> > > Jetzt wo du es geschrieben hast fällt mir wieder ein, dass
> > > wir in der Vorlesung einen Satz hatten:
> > > [mm]rg(_{B_{2}}(\alpha)_{B_{1}}) = dim_{K} Im(\alpha) [/mm].
>  >  
> >  

> > > Es gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))-dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > mit [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) \cap Ker(\beta))=0[/mm], da [mm]Ker(\alpha) \cap Ker(\beta)=\{0_{K^{5}}\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Also gilt doch: [mm]dim_{K}(Ker(\alpha) + Ker(\beta))= dim_{K}(Ker(\alpha))+dim_{K}(Ker(\beta))[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Bin ich auf der richtigen Spur??
> >
> > Ja, schon, aber Du scheinst die Spur nicht zu sehen !
> >
> > Wie groß ist denn nun
> >
> > [mm]dim_{K}(Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta))[/mm] ?
>  >  
> >
> > Wenn Du das hast, so hast Du sofort einen Widerspruch, denn
> > [mm]Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta)[/mm] ist ein Unterraum eines  5
> > -dimensionalen Vektorraumes.
>  >  >

> > > Gruß Olli
> >  

>
> Du hattest weiter oben ja gezeigt, das
>  [mm]dim_{K} Ker(\alpha)=3[/mm] sowie [mm]dim_{K} Ker(\beta)=3[/mm] ist.
> Somit ist [mm]dim_{K}(Ker(\alpha)[/mm] + [mm]Ker(\beta))=6[/mm] ein
> Widerspruch zum 5-dimensionalen Vektorraum.

So ist es !


>  
>
> Danke für deine super schnelle Hilfe. :-)
>  


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