Hilfe beim Cauchyintegralsatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mi 17.05.2017 | | Autor: | hilbert |
Folgende Aufgabe ist zu berechnen:
Wir haben das Gebiet [mm] U:=\mathbb{C}\backslash[1,2] [/mm] und die auf U holomorphee Funktion [mm] f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}.
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass für alle Wege [mm] \gamma [/mm] geschlossen gilt:
[mm] \int_\gamma [/mm] f(z) dz = 0
Jetzt habe ich das Problem, dass das Gebiet gar nicht einfach zusammenhängend und damit der Cauchyintegralsatz nicht anwendbar ist.
Leider weiß ich ohne diesen Satz nicht, wie ich diese Aufgabe zeigen soll.
Für einen Wink zu einem Ansatz, den ich dann nachfolgen kann, bin ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 17.05.2017 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] \gamma [/mm] eine geschlossene Kurve in U, so nimm doch den Residuensatz:
[mm] $\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma [/mm] f(z) dz= [mm] ind_{\gamma}(1) Res(f;1)+ind_{\gamma}(2) [/mm] Res(f;2)$
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Tipp: Da das Intervall [1|2] auf der x-Achse nicht zu U gehört, schließt [mm] \gamma [/mm] entweder keinen oder beide der Punkte z=1 bzw. z=2 ein.
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